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给定一个任意state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，也可以把其理解为宏观的状态空间。<math>S</math> 和 <math>A</math> 之间的Hard Partition映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>。这种映射关系是指：<math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括了若干个<math>s_i</math>；<math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>不会同时属于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>；<math>S</math>中的每个元素必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。

给定一个任意state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，也可以把其理解为宏观的状态空间。<math>S</math> 和 <math>A</math> 之间的Hard Partition映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>。这种映射关系是指：<math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括了若干个<math>s_i</math>；<math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>不会同时属于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>；<math>S</math>中的每个元素必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。

在这里，我们考虑的是线性的马尔科夫过程的投影，所以<math>\Phi</math>是一个<math>n \times n</math>的投影矩阵。因此，我们可以定义宏观状态<math>A^{(t)} = s^{(t)} \Phi</math>为微观状态<math>s^{(t)}</math>在宏观空间上的投影。

<u>在这里，我们考虑的是线性的马尔科夫过程的投影，所以<math>\Phi</math>是一个<math>n \times n</math>的投影矩阵。因此，我们可以定义宏观状态<math>A^{(t)} = s^{(t)} \Phi</math>为微观状态<math>s^{(t)}</math>在宏观空间上的投影。</u>

[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|500x500像素|图2：矩阵粗粒化示例]]对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>通过投影矩阵<math>\Phi</math>投影到<math>A</math>的空间上。

[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|500x500像素|图2：矩阵粗粒化示例]]<u>对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>通过投影矩阵<math>\Phi</math>投影到<math>A</math>的空间上。</u>

比如，我们有某条微观状态序列<math>\{ s^{(1)}, ..., s^{(6)} \}</math> 是 <math>\{ s_1, s_3, s_4, s_2, s_2, s_3  \}</math>，对于投影矩阵<math>\Phi  = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，我们得到的投影后的宏观状态序列为<math>\{ A_1, A_2, A_2, A_1, A_1, A_2  \}</math>

<u>比如，我们有某条微观状态序列<math>\{ s^{(1)}, ..., s^{(6)} \}</math> 是 <math>\{ s_1, s_3, s_4, s_2, s_2, s_3  \}</math>，对于投影矩阵<math>\Phi  = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，我们得到的投影后的宏观状态序列为<math>\{ A_1, A_2, A_2, A_1, A_1, A_2  \}</math></u>

'''''定义1'''''：'''Lumped process'''

'''''定义1'''''：'''Lumped process'''

从图3的lumpable例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，lumpable的动力学TPM可以找到一个lumped process，而这个lumped process是满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致的。也就是说，无论<math>s^{(t)}</math>是什么，<math>\{ s^{(t)}, s^{(t+1)} \}</math>投影到宏观空间上的<math>\{ A^{(t)}, A^{(t+1)} \}</math>的<math> P( A^{(t+1)} | A^{(t)} )</math>都保持一致。

<u>从图3的lumpable例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，lumpable的动力学TPM可以找到一个lumped process，而这个lumped process是满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致的。也就是说，无论<math>s^{(t)}</math>是什么，<math>\{ s^{(t)}, s^{(t+1)} \}</math>投影到宏观空间上的<math>\{ A^{(t)}, A^{(t+1)} \}</math>的<math> P( A^{(t+1)} | A^{(t)} )</math>都保持一致。</u>

对于例子中的non-lumpable矩阵，我们或许可以给它强制定义一个lumped process的TPM，比如<math> P_1' = \left ( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.4 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>，但这个lumped process并不能对任何微观初始状态保持一致，只能对<math>s^{(t)} = \pi = \left [ \begin{array}{cc}1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>适用。

<u>而<math>s^{(t)} = \pi = \left [ \begin{array}{cc}0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>不适用这个lumped process。它适用的是<math> P_2' = \left ( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.5 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>。这里的不适用是指，这个lumped process不能描述这个<math>\pi</math>为初始状态出发的微观状态序列投影的宏观状态序列。</u>

而<math>s^{(t)} = \pi = \left [ \begin{array}{cc}0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>不适用这个lumped process。它适用的是<math> P_2' = \left ( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.5 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>。这里的不适用是指，这个lumped process不能描述这个<math>\pi</math>为初始状态出发的微观状态序列投影的宏观状态序列。

<u>我们看到，对于这个分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，马尔科夫矩阵有两个lumped process <math> P_1'</math>和<math> P_2'</math>，而它们各自只适用于一些微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math>，并不满足定义2中的条件，所以<math>A</math>对于这个TPM来说不是一个lumpable partition。事实上，这个TPM只存在一个lumpable partition，就是不做任何的分组，所以它无法按照lumpability的定义进行粗粒化。</u>

===lumpable partition的充分必要条件===

===lumpable partition的充分必要条件===

通过上面的例子，我们可以对lumpable partition有一些直观的理解。我们可以留意到，在lumpable partition中，有两个分组，所以有四个框。每一个框里，每一列相加的和都是一样的，比如左上角的框中，<math>0.3 + 0.3 = 0.2 + 0.4</math>。这就是lumpable partition更通俗的解释，在某些文献中，并不会使用上面提及的定义，而是直接使用这个通俗版的解释。<ref name=":3" />中作者指出，这两者之间是存在充分必要条件关系的。

<u>通过上面的例子，我们可以对lumpable partition有一些直观的理解。我们可以留意到，在lumpable partition中，有两个分组，所以有四个框。每一个框里，每一列相加的和都是一样的，比如左上角的框中，<math>0.3 + 0.3 = 0.2 + 0.4</math>。这就是lumpable partition更通俗的解释，在某些文献中，并不会使用上面提及的定义，而是直接使用这个通俗版的解释。<ref name=":3" />中作者指出，这两者之间是存在充分必要条件关系的。</u>

设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k) = \sum_{s_m \in A_i} p_{s_k \rightarrow s_m}</math>，<math>p_{A_i \rightarrow A_j} = p(A^{(t)} = A_j | A^{(t-1)} = A_i)</math>

设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k) = \sum_{s_m \in A_i} p_{s_k \rightarrow s_m}</math>，<math>p_{A_i \rightarrow A_j} = p(A^{(t)} = A_j | A^{(t-1)} = A_i)</math>