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对于一个实方阵或复方阵<math>A</math>，其极分解是一种形如<math>A = UP</math>的因式分解，其中<math>U</math>是酉矩阵，<math>P</math>是半正定的厄米特矩阵（在实数情况下，<math>U</math>是正交矩阵，而<math>P</math>是半正定对称矩阵），两者都是相同大小的方阵。
当我们将一个实<math>n \times n</math>矩阵<math>A</math>解释为<math>n</math>维空间<math>\mathbb{R}^n</math>上的线性变换时，极分解将其分离成<math>\mathbb{R}^n</math>空间的一个旋转或反射<math>U</math>，以及沿着<math>n</math>个正交轴的空间缩放。
方阵<math>A</math>的极分解总是存在的。如果<math>A</math>是可逆的，那么这个分解是唯一的，并且因子<math>P</math>将是正定的。在这种情况下，<math>A</math>可以唯一地写成形式<math>A = Ue^X</math>，其中<math>U</math>是酉矩阵，而<math>X</math>是矩阵<math>P</math>的唯一自伴随对数。
极分解也可以定义为<math>A = P'U</math>，其中<math>P' = UPU^{-1}</math>是一个对称正定矩阵，它与<math>P</math>具有相同的特征值但具有不同的特征向量。
矩阵的极分解可以看作是复数极形式的矩阵类比。就像复数<math>z</math>可以表示为<math>z = ur</math>的形式，其中<math>r</math>是它的绝对值（一个非负实数），而<math>u</math>是一个模为1的复数（圆群的一个元素）。
定义<math>A = UP</math>可以推广到矩形矩阵<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>，此时要求<math>U \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>是半酉矩阵，而<math>P \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>是半正定的厄米特矩阵。这种分解总是存在的，并且<math>P</math>总是唯一的。矩阵<math>U</math>是唯一的，当且仅当<math>A</math>是满秩的。
当我们将一个实<math>n \times n</math>矩阵<math>A</math>解释为<math>n</math>维空间<math>\mathbb{R}^n</math>上的线性变换时，极分解将其分离成<math>\mathbb{R}^n</math>空间的一个旋转或反射<math>U</math>，以及沿着<math>n</math>个正交轴的空间缩放。
方阵<math>A</math>的极分解总是存在的。如果<math>A</math>是可逆的，那么这个分解是唯一的，并且因子<math>P</math>将是正定的。在这种情况下，<math>A</math>可以唯一地写成形式<math>A = Ue^X</math>，其中<math>U</math>是酉矩阵，而<math>X</math>是矩阵<math>P</math>的唯一自伴随对数。
极分解也可以定义为<math>A = P'U</math>，其中<math>P' = UPU^{-1}</math>是一个对称正定矩阵，它与<math>P</math>具有相同的特征值但具有不同的特征向量。
矩阵的极分解可以看作是复数极形式的矩阵类比。就像复数<math>z</math>可以表示为<math>z = ur</math>的形式，其中<math>r</math>是它的绝对值（一个非负实数），而<math>u</math>是一个模为1的复数（圆群的一个元素）。
定义<math>A = UP</math>可以推广到矩形矩阵<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>，此时要求<math>U \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>是半酉矩阵，而<math>P \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>是半正定的厄米特矩阵。这种分解总是存在的，并且<math>P</math>总是唯一的。矩阵<math>U</math>是唯一的，当且仅当<math>A</math>是满秩的。