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在数学中，如果对于任意非零实列向量<math>\mathbf{x}</math>，实数<math>\mathbf{x}^\top M\mathbf{x}</math>都为正，那么我们就说这个实对称矩阵<math>M</math>是正定的，这里<math>\mathbf{x}^\top</math>表示<math>\mathbf{x}</math>的行向量转置。更一般地，对于厄米特矩阵（即等于其共轭转置的复矩阵），如果对任意非零复列向量<math>\mathbf{z}</math>，实数<math>\mathbf{z}^* M\mathbf{z}</math>都为正，那么这个矩阵就是正定的，这里<math>\mathbf{z}^*</math>表示<math>\mathbf{z}</math>的共轭转置。
半正定矩阵的定义与此类似，区别在于标量<math>\mathbf{x}^\top M\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{z}^* M\mathbf{z}</math>只需要大于等于零（即非负）即可。
对于实对称矩阵<math>M</math>，我们可以用数学语言更严格地表述如下：
正定矩阵：对所有非零向量<math>\mathbf{x}</math>，都有<math>\mathbf{x}^\top M\mathbf{x} > 0</math>
半正定矩阵：对所有向量<math>\mathbf{x}</math>，都有<math>\mathbf{x}^\top M\mathbf{x} \geq 0</math>
负定矩阵和半负定矩阵的定义方法与此类似。如果一个矩阵既不是半正定也不是半负定，我们就称它为不定矩阵。
半正定矩阵的定义与此类似，区别在于标量<math>\mathbf{x}^\top M\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{z}^* M\mathbf{z}</math>只需要大于等于零（即非负）即可。
对于实对称矩阵<math>M</math>，我们可以用数学语言更严格地表述如下：
正定矩阵：对所有非零向量<math>\mathbf{x}</math>，都有<math>\mathbf{x}^\top M\mathbf{x} > 0</math>
半正定矩阵：对所有向量<math>\mathbf{x}</math>，都有<math>\mathbf{x}^\top M\mathbf{x} \geq 0</math>
负定矩阵和半负定矩阵的定义方法与此类似。如果一个矩阵既不是半正定也不是半负定，我们就称它为不定矩阵。