更改

我们设这个（<math>A_i</math>中任意微观状态<math>s_k</math>的）共同的转移概率为<math>\hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。当初始状态<math>\pi</math>属于某个<math>A_i</math>时（<math>\pi \in A_i</math>），<math>p_{s_k \rightarrow A_j} = Pr_{\pi \in A_i} [ s^{(1)} \in A_j ] = \hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。

我们设这个（<math>A_i</math>中任意微观状态<math>s_k</math>的）共同的转移概率为<math>\hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。当初始状态<math>\pi</math>属于某个<math>A_i</math>时（<math>\pi \in A_i</math>），<math>p_{s_k \rightarrow A_j} = Pr_{\pi \in A_i} [ s^{(1)} \in A_j ] = \hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。

所以，这说明了，如果一个马尔可夫链的lumped process满足成块性，那么从任一集合到另一集合的转移概率必须是集合间的固定值，而与集合内的具体状态（不管是<math>\pi</math>还是<math>s_k</math>）无关。这个固定值就是式子（4）定义的宏观状态转移概率，所以满足了该条件。

所以，这说明了，如果一个马尔可夫链的简化过程满足成块性，那么从任一集合到另一集合的转移概率必须是集合间的固定值，而与集合内的具体状态（不管是<math>\pi</math>还是<math>s_k</math>）无关。这个固定值就是式子（4）定义的宏观状态转移概率，所以满足了该条件。

'''充分性部分的证明：'''

'''充分性部分的证明：'''

强成块性（Strong lumpability） 或 ordinary lumpability 是上面所述的成块性的原本概念，是这六个变种中约束最强的一种。它要求矩阵具有严格的分块性。

强成块性（Strong lumpability） 或 ordinary lumpability 是上面所述的成块性的原本概念，是这六个变种中约束最强的一种。它要求矩阵具有严格的分块性。

这里的'Strong'是与下面的'weak'相对的概念，指上文的lumped process满足对任意初始状态分布都保持一致的条件。

这里的'Strong'是与下面的'weak'相对的概念，指上文的简化过程满足对任意初始状态分布都保持一致的条件。

简单的例子：

简单的例子：

===弱成块性 Weak Lumpability===

===弱成块性 Weak Lumpability===

弱成块性（weak lumpability）<ref name=":3" />是指lumped process不对所有的初始状态满足，而仅对某些初始状态满足。

弱成块性（weak lumpability）<ref name=":3" />是指简化过程不对所有的初始状态满足，而仅对某些初始状态满足。

一个简单的例子是，某个状态<math>s_i</math>到<math>s_j</math>不联通的，而lumped process适用于<math>s_i</math>但不适用于<math>s_j</math>。所以，当初始状态等于<math>s_i</math>时，因为永远不会到达<math>s_j</math>，所以lumped process会一直适用。

一个简单的例子是，某个状态<math>s_i</math>到<math>s_j</math>不联通的，而简化过程适用于<math>s_i</math>但不适用于<math>s_j</math>。所以，当初始状态等于<math>s_i</math>时，因为永远不会到达<math>s_j</math>，所以简化过程会一直适用。

简单的例子：

简单的例子：