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===细致平衡条件===
如果将<math>\pi_i P_{ij}</math>理解为状态<math>i</math>向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jP_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送。那么考虑一种特殊情况，任意的状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的，这样的马尔科夫链是否具有特殊的性质？
如果将<math>\pi_i P_{ij}</math>理解为状态<math>i</math>向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jP_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送。那么考虑一种特殊情况，任意的状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的，这样的马尔科夫链是否具有特殊的性质？
对于任意的状态<math>i,j</math>，满足<math>\pi_i P_{ij}=\pi_jP_{ji}</math>，称马尔科夫链满足细致平衡条件。
对于任意的状态<math>i,j</math>，若满足<math>\pi_i P_{ij}=\pi_jP_{ji}</math>，称马尔科夫链满足细致平衡条件。
进一步，若满足细致平衡条件，则
<math>\pi_i=\sum_k\pi_kP_{ki}\iff \pi=\pi P.</math>
<math>\pi_i=\sum_k\pi_kP_{ki}\iff \pi=\pi P.</math>
证：<math>\pi_i=\pi_i\sum_kP_{ik}=\sum_k\pi_iP_{ik}=\sum_k\pi_kP_{ki}</math>。
证：<math>\pi_i=\pi_i\sum_kP_{ik}=\sum_k\pi_iP_{ik}=\sum_k\pi_kP_{ki}</math>。