5,443
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第159行：
第159行： − 如果将<math>\pi_i P_{ij}</math>理解为状态<math>i</math>向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jP_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送。那么考虑一种特殊情况，任意的状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的，这样的马尔科夫链是否具有特殊的性质？+ + + − 对于任意的状态<math>i,j</math>，若满足<math>\pi_i P_{ij}=\pi_jP_{ji}</math>，称马尔科夫链满足细致平衡条件。+ +
→细致平衡条件
===细致平衡条件===
===细致平衡条件===
前面的讨论都沿着时间正向在讨论，考察有限状态空间上不可约、非周期的马尔科夫链，其稳态分布为<math>\pi</math>，假设稳态开始时间为<math>n</math>，如果将时间反向，有
<math>q{ij}=P(X_n=j|X_{n+1}=i,X_{n+2},\ldots)</math>=\frac{P(X_n=j)P(X_{n+1}=i|X_n=j)}{P(X_{n+1}=i)}=\frac{\pi_jp_{ji}}{\pi_i}。
此时，对于任意的<math>j</math>，有<math>\sum_j q_{ij}=\frac{\sum\pi_j p_{ji}}{\pi_i}=\frac{\pi}{\pi}=1</math>。
考虑一种特殊情形，若<math>q{ij}=p_{ij}</math>，即对于任意的状态<math>i,j</math>，满足<math>\pi_i p_{ij}=\pi_jp_{ji}</math>，此时称马尔科夫链满足细致平衡条件。
注：<math>\pi_i P_{ij}</math>可以理解为状态<math>i</math>向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jP_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送。细致平衡条件可以理解为任意的状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的。
进一步，若满足细致平衡条件，则
进一步，若满足细致平衡条件，则