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→细致平衡条件
考察有限状态空间上不可约、非周期的马尔科夫链，其稳态分布为<math>\pi</math>。假设稳态开始时间为<math>n</math>，如果将时间反向，有
考察有限状态空间上不可约、非周期的马尔科夫链，其稳态分布为<math>\pi</math>。假设稳态开始时间为<math>n</math>，如果将时间反向，有
<math>q_{ij}=P(X_n=j|X_{n+1}=i,X_{n+2},\ldots)=\frac{P(X_n=j)P(X_{n+1}=i|X_n=j)}{P(X_{n+1}=i)}=\frac{\pi_jp_{ji}}{\pi_i}</math>。
<math>P(X_n=j|X_{n+1}=i,X_{n+2},\ldots)=
\frac{P(X_n=j)P(X_{n+1}=i|X_n=j)P(X_{n+2},\ldots|X_{n+1}=i,X_n=j)}{P(X_{n+1}=i)P(X_{n+2},\ldots|X_{n+1}=i)}=
\frac{P(X_n=j)P(X_{n+1}=i|X_n=j)}{P(X_{n+1}=i)}=\frac{\pi_jp_{ji}}{\pi_i}\triangleq q_{ij}</math>。
此时，对于任意的<math>j</math>，有<math>\sum_j q_{ij}=\frac{\sum\pi_j p_{ji}}{\pi_i}=\frac{\pi}{\pi}=1</math>。
此时，对于任意的<math>j</math>，有<math>\sum_j q_{ij}=\frac{\sum\pi_j p_{ji}}{\pi_i}=\frac{\pi}{\pi}=1</math>。