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=有效信息量化联合效应与独立效应=
综合信息理论（IIT）已被用于评估系统中联合效应与独立效应所包含的总信息<ref>Giulio Tononi. Consciousness as integrated information: a provisional manifesto. The Biological Bulletin, 215(3): 216–242, 2008.</ref>。它是因果分析的有用工具，分析网络因果结构中整合的信息量<ref>William Marshall, Hyunju Kim, Sara I Walker, Giulio Tononi, and Larissa Albantakis. How causal analysis can reveal autonomy in models of biological systems. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 375(2109):20160358, 2017.</ref><ref name=":4">Larissa Albantakis, William Marshall, Erik Hoel, and Giulio Tononi. What caused what? a quantitative account of actual causation using dynamical causal networks. Entropy, , 21(5):459, 2019.</ref>。以前，综合信息被衡量为给定分区的EI损失<ref>David Balduzzi and Giulio Tononi. Integrated information in discrete dynamical systems: motivation and theoretical framework. PLoS Comput Biol, 4(6):e1000091, 2008.</ref>，使EI成为综合信息的上限。然而，目前还没有一种公认的通用综合信息衡量标准<ref>Masafumi Oizumi, Larissa Albantakis, and Giulio Tononi. From the phenomenology to the mechanisms of consciousness: integrated information theory 3.0. PLoS Comput Biol, 10(5):e1003588, 2014.</ref>。相反，在不同的系统中提出了各种集成信息的措施<ref>Max Tegmark. Improved measures of integrated information. PLoS computational biology, 12(11):e1005123, 2016.</ref><ref>Pedro AM Mediano, Anil K Seth, and Adam B Barrett. Measuring integrated information: Comparison of candidate measures in theory and simulation. Entropy, 21(1):17, 2019.</ref>。传统上，前馈网络中的集成信息量为零，因为没有可重入连接，因为它基于在系统的所有可能子集中找到最小信息分区。然而，即使在前馈网络中，一层的节点仍然可能对另一层产生不可约的联合效应，因此我们引入了一种度量，即前馈集成信息，应用于DNN。
通常，计算集成信息需要检查所有可能分区的集合，这使得这种方法不适用于维数较小的系统。或者，为了评估单个边对EI的协同贡献，可能需要使用多变量信息理论，例如部分信息分解，当包含源时，它会按照Dedekind数的顺序增长<ref>Paul L Williams and Randall D Beer. Nonnegative decomposition of multivariate information. arXiv preprint arXiv:1004.2515, 2010.</ref>
为了避免这些问题，我们引入了一种基于每条边的贡献计算的度量方法<math>EI_{parts}</math>。也就是说，对于每个节点i∈L1，记录其在该扰动下的激活函数的时间序列估计，以及每个节点j∈L2的激活函数。为了计算EI部分，然后将每个节点的每个单独的时间序列离散为一些共享的选定bin大小，并计算和求和每个（i，j）对的MI：10）。
<math>
\begin{equation}
EI_{\text{parts}}(L_1 \rightarrow L_2) = \sum_{(i \in L_1, j \in L_2)} I(t_i, t_j) \mid \text{do}(L_1 = H^{\max}).
\end{equation}
</math>
请注意，对于具有单个节点的层，EI和EI部分是相同的。当网络的每个节点只接收单个边缘时，情况也是如此。然而，<math>EI_{parts}</math>措施必然会错过某些积极的联合效应。重要的是，EI和EIparts度量之间的差异可以捕捉到联合效应的量，从而捕捉到逐层以前馈方式整合的信息量。具体来说，我们将EI（综合信息的上限）与第3节中定义的<math>EI_{parts}</math>进行比较，即<math>\Phi_{feedforward} = EI - EI_{parts}</math>。应该指出的是，向前的φf虽然旨在捕捉一层到另一层的总联合效应，但不受零的限制，可以是负的。
为了了解DNN训练过程中层间联合效应的变化，我们分析了Iris和MNIST数据集训练过程中<math>φ_f</math>的前向变化（有关我们测量<math>EI_{parts}</math>的方法的详细信息，请参阅SI第7.1节）。我们观察到，MNIST训练的网络比Iris训练的网络具有更高的φf前馈，这表明因果结构确实根据任务的复杂性而有所不同，需要更多的联合效应来学习（见下图）。
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