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→主要理论
这里的[math]i,j\in \mathcal{X}[/math]，是[math]\mathcal{X}[/math]中的任意状态，且[math]N=\#(\mathcal{X})[/math]，即[math]\mathcal{X}[/math]中的总状态数。
这里的[math]i,j\in \mathcal{X}[/math]，是[math]\mathcal{X}[/math]中的任意状态，且[math]N=\#(\mathcal{X})[/math]，即[math]\mathcal{X}[/math]中的总状态数。
=== 量化方法 ===
=== 量化方法 ===
下面将引入有效信息这一关键指标，介绍如何基于该指标量化马尔科夫动力系统的因果效应。
下面将引入有效信息这一关键指标，介绍如何基于该指标量化马尔科夫动力系统的因果效应。
==== 有效信息 ====
==== 有效信息 ====
这里，[math]X[/math]是因变量，[math]Y[/math]是果变量，[math]P[/math]表示[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制。当[math]X, Y[/math]均为离散状态分布的情境下，[math]P[/math]为概率转移矩阵，[math]p_{ij}\equiv Pr(Y=j|X=i)[/math]。[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]表示对[math]X[/math]实施[[do干预]](或称[[do操作]]，使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。在这一干预下，因果机制P保持不变。EI指标度量的是经过do干预后的因变量X与果变量Y之间的互信息。
这里，[math]X[/math]是因变量，[math]Y[/math]是果变量，[math]P[/math]表示[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制。当[math]X, Y[/math]均为离散状态分布的情境下，[math]P[/math]为概率转移矩阵，[math]p_{ij}\equiv Pr(Y=j|X=i)[/math]。[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]表示对[math]X[/math]实施[[do干预]](或称[[do操作]]，使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。在这一干预下，因果机制P保持不变。EI指标度量的是经过do干预后的因变量X与果变量Y之间的互信息。
==== 粗粒化映射 ====
==== 粗粒化映射 ====
在“黑盒”布尔元素实例中，与前面例子不同之处在于，元素D接受来自另外三个元素的输入，响应门为逻辑判断“三个输入加和是否等于3”。我们简单分析一下D的情况，当D为0时，和“冻结”例子就非常相似，A，B，C之间的响应变为COPY机制，COPY循环也不会带来总和的变化，D将持续为0；当D为1时，说明A，B，C也将全为1，也等价于COPY机制。所以在当前的实例中，可以忽略D的影响，当作黑盒，只关注A，B，C的变化。
在“黑盒”布尔元素实例中，与前面例子不同之处在于，元素D接受来自另外三个元素的输入，响应门为逻辑判断“三个输入加和是否等于3”。我们简单分析一下D的情况，当D为0时，和“冻结”例子就非常相似，A，B，C之间的响应变为COPY机制，COPY循环也不会带来总和的变化，D将持续为0；当D为1时，说明A，B，C也将全为1，也等价于COPY机制。所以在当前的实例中，可以忽略D的影响，当作黑盒，只关注A，B，C的变化。
===== 实现步骤 =====
===== 实现步骤 =====
关于具体的粗粒化马尔科夫链的方法，请参考[[马尔科夫链的粗粒化]]。
关于具体的粗粒化马尔科夫链的方法，请参考[[马尔科夫链的粗粒化]]。
===== 最优粗粒化 =====
===== 最优粗粒化 =====
张江等人进一步提出了[[基于奇异值分解的因果涌现理论]]<ref name=":2">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>，该理论克服因果涌现理论中需要预先指定粗粒化策略的限制，通过对系统的马尔科夫转移矩阵进行奇异值分解，计算奇异值的<math>\alpha</math>次方之和<math>\Gamma_{\alpha}</math>，从而量化系统的近似动力学可逆性。<math>\Gamma_{\alpha}</math>与有效信息EI近似相关，使其能够用来衡量因果效应程度，实现无需粗粒化的因果涌现量化。理论进一步区分了“清晰的因果涌现”和“模糊的因果涌现”，提供了一种更加客观的方法来评估系统的因果涌现程度，但也存在计算复杂度较高等问题。
张江等人进一步提出了[[基于奇异值分解的因果涌现理论]]<ref name=":2">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>，该理论克服因果涌现理论中需要预先指定粗粒化策略的限制，通过对系统的马尔科夫转移矩阵进行奇异值分解，计算奇异值的<math>\alpha</math>次方之和<math>\Gamma_{\alpha}</math>，从而量化系统的近似动力学可逆性。<math>\Gamma_{\alpha}</math>与有效信息EI近似相关，使其能够用来衡量因果效应程度，实现无需粗粒化的因果涌现量化。理论进一步区分了“清晰的因果涌现”和“模糊的因果涌现”，提供了一种更加客观的方法来评估系统的因果涌现程度，但也存在计算复杂度较高等问题。
==== 因果涌现度量 ====
==== 因果涌现度量 ====
由于粗粒化的过程带来状态空间减小，所以<math>\Delta{I_{Size}}</math>总是为负；若要CE>0，即因果涌现发生，那么<math>\Delta{I_{Eff}}</math>必须为正值，且粗粒化带来的有效性提升幅度要超过状态空间导致的EI减小。
由于粗粒化的过程带来状态空间减小，所以<math>\Delta{I_{Size}}</math>总是为负；若要CE>0，即因果涌现发生，那么<math>\Delta{I_{Eff}}</math>必须为正值，且粗粒化带来的有效性提升幅度要超过状态空间导致的EI减小。
==== 因果涌现与因果容量 ====
==== 因果涌现与因果容量 ====