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第12行：
第12行： − + − + − * 可以得到城市的人口密度[math]n=N/A[/math]+ − + − * 可得城市的总成本为[math]T \sim LN \sim N \sqrt{A}[/math]+ − + − * 可得人均交互数量[math]k = a_0l N/A[/math]+ − + − * 得到社会产出[math]Y=gkN = ga_0l \frac{N^2}{A} = G \frac{N^2}{A}[/math]， 其中[math]G=ga_0l[/math]+ − + − − * 得到 第43行：
第41行： + − 但以上的分析实际上会高估产出，低估成本。因为真正用于交互的道路长度L应该是道路面积的开根号[math]L \sim A_n^{1/2}[/math]，而不是和城市面积的开根号[math]L \sim {A^{1/2}[/math]。所以上述公式的[math]A \sim N^{2/3}[/math]是城市面积和人口的增长关系。要想得到产出更精确的规模关系，就需要对模型作进一步的修正。尤其需要修正的重点是：人们交互的空间应该是道路空间，而不是整个城市空间。+ − − 第52行：
第49行： − 同样要求城市中的人口可以充分在城市中移动和交互，即每个人的交互成本c正比于城市横向尺寸L。只不过如前文所说，现在的L是和道路面积有关，也就是[math]c \sim L \sim A_n^{1/2}[/math]。+ + + + − 这一假设要求基础建设网络要随着人口的增加而增长，最终会形成一个去中心化的网络。可以得到人们之间的平均距离和人口密度有关，[math]d=n^{-1/2} = (A/N)^{1/2}[/math]. 而且这个距离和人均基建网络的长度相等。假设网络的宽度是一个常数，所以平均距离d也正比于人均道路面积，最终可以得到 [math]d = (A/N)^{1/2} \sim A_n/N[/math]。 那么道路面积可以表示为[math]A_n \sim A^{1/2}N^{1/2}[/math]。+ + + + + + + + + − 这一假设要求了在平均意义上，每个人在每一次的交互中，对应的社会产出恒定的，也就是G是独立于人口规模N。观察G的表达式发现，这约束实际上是对人均产出和人均道路面积（成本）乘积的限制。如果你的产出越高，那么你所需要的交互面积也就越小。所以可以认为，这一假设背后实际上是约束了社会的科技和生产力水平不变。可以想象，如果科技水平提高，那么一定会让G也增大。+ − '''假设4：社会经济产出正比于局部社会交互。'''+ − 这一假设是在说，城市的GDP可以看做是人们进行社会交互的结果，所以社会产出和交互数量是成比例的关系。其实和原始的模型一样，通过引入一个交互产出系数G，使得交互可以转化为产出。同样的，我们需要把交互放在道路网络空间，即 [math]Y \sim GN^2/A_n[/math]。+ − 那根据这些以上这些假设，同样根据供需平衡[math]Y \sim T[/math]，我们就可以推导出新的规模关系+ − <math>+ − − </math> − − <math> − Y \sim N^{7/6} − </math> 第82行：
第84行： − 到目前为止，所谓的机制模型其实完全没有基建网络如何构建的细节，只有一些基本的宏观原则。所以，接下来的部分，就进入了贝当古模型的第二个模块，通过一个层级化的基建网络模型，目的是试图为城市规划等问题提供实质的理论指导。+ − +
无编辑摘要
下面，我们就来依次介绍这四个步骤。
下面，我们就来依次介绍这四个步骤。
=== 基础模型-无组织的定居模型 ===
=== 1. 基础模型-无组织的定居模型 ===
首先我们考虑一个人口在城市空间内随机分布的模型，城市的人口数量为N，面积为A，人们在空间中自由移动，就像是理想气体分子。（如图）
* 首先我们考虑一个人口在城市空间内随机分布的模型，城市的人口数量为N，面积为A，人们在空间中自由移动，就像是理想气体分子。（如图）
可以得到城市的人口密度[math]n=N/A[/math]
其次，我们考虑每个人在空间中充分移动，设移动成本和距离有关，即[math]c \sim R \sim A^{1/2}[/math]
* 其次，我们考虑每个人在空间中充分移动，设移动成本和距离有关，即[math]c \sim R \sim A^{1/2}[/math]
可得城市的总成本为[math]T \sim LN \sim N \sqrt{A}[/math]
人们通过移动发生交互，设每个人在特征距离[math]l[/math]内，与一个人发生一次互动的概率为[math]a_0[/math]
* 人们通过移动发生交互，设每个人在特征距离[math]l[/math]内，与一个人发生一次互动的概率为[math]a_0[/math]
可得人均交互数量[math]k = a_0l N/A[/math]
引入交互产出系数[math]g[/math]，即一次交互可以带来的社会产出量
* 引入交互产出系数[math]g[/math]，即一次交互可以带来的社会产出量
得到社会产出[math]Y=gkN = ga_0l \frac{N^2}{A} = G \frac{N^2}{A}[/math]， 其中[math]G=ga_0l[/math]
最后考虑城市的收支平衡，即[math]Y = T[/math]
* 最后考虑城市的收支平衡，即[math]Y = T[/math]，得到
<math>
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以上的分析实际上会高估产出，低估成本。因为现实的情况肯定不是人们像理想气体分子一样在空间中运动，而是移动会受到地理空间的约束。人和人的交互也是在空间约束的条件下进行的。于是就有了以下的改进
=== 2. 城市组织的四条基本原则 ===
=== 修正模型 ===
基于以上的设置，一个更为现实的模型如下。它有四个基本的假设
基于以上的设置，一个更为现实的模型如下。它有四个基本的假设
'''假设1：人口充分混合。'''
'''假设1：人口充分混合。'''
要求每个城市居民可获取的最低资源[math]y_{min} = GN^2/A[/math]，与到达城市任何地方的成本相匹配。并且引入移动空间维数[math]H_m[\math]，即移动距离/成本和城市面积的关系为[math]c \sim A^{H_m/2}[\math]，也就是居民的移动范围定义了城市的面积，[math]H_m=1[\math]时其实就回退到了前面的版本
所以同样根据收支平衡，可以得到城市面积和人口的关系[math]A \sim N^{\frac{2}{2+H_m}}[/math]
'''假设2：网络增长。'''
'''假设2：网络增长。'''
这一假设要求基础建设网络要随着人口的增加而增长，以满足每个人便捷出行的需求。引入道路面积[math]A_n[\math]
可以得到：
1. 人们之间的平均距离和人口密度有关，[math]d=n^{-1/2} = (A/N)^{1/2}[/math]. 而且这个距离和人均基建网络的长度相等。
2. 假设网络的宽度是一个常数，所以平均距离d也正比于人均道路长度[math]A_n /N[/math]，最终可以得到[math]A_n \sim A^{1/2}N^{1/2}[/math]。
3. 最终可以得到道路面积和人口的关系 [math]A_n \sim N^{1-\frac{H_m}{2(2+H_m)}}[/math]。 当[math]H_m=1[\math]时，幂指数为5/6
'''假设3：有限的人类社会能力。'''
'''假设3：有限的人类社会能力。'''
这一假设要求了在平均意义上，单位面积的交互带来的产出G，是不随城市规模变化的。即 [math]dG/dN = 0[\math]
于是可以得到每个人的社会产出 [math]y = G N/A_n[\math]
观察G的表达式发现，这约束实际上是对人均产出和人均道路面积（成本）乘积的限制。如果你的产出越高，那么你所需要的交互面积也就越小。所以可以认为，这一假设背后实际上是约束了社会的科技和生产力水平不变。可以想象，如果科技水平提高，那么一定会让G也增大。
'''假设4：社会经济产出正比于局部社会交互。'''
这条假设是说总产出是局部交互的加总，即[math]Y = ny = G \sim N^2 / A_n[\math]，当[math]H_m=1[\math]时，[math]A_n \sim N^{7/6}[\math]，其中[math]G \sim N^{\alpha}[\math]
A_n \sim N^{5/6}
而新的指数也和开篇提到的实证数据相比非常吻合。下图分别展示了美国2006年的道路网络（左），GDP（右）和人口数量的关系。在双对数下斜率分别约为0.849和1.126：
而新的指数也和开篇提到的实证数据相比非常吻合。下图分别展示了美国2006年的道路网络（左），GDP（右）和人口数量的关系。在双对数下斜率分别约为0.849和1.126：
到目前为止，所谓的机制模型其实完全没有基建网络如何构建的细节，只有一些基本的宏观原则。所以，接下来的部分，就进入了贝当古模型的第三个模块，通过一个层级化的基建网络模型，目的是试图为城市规划等问题提供实质的理论指导。
=== 层级模型 ===
=== 3. 层级模型 ===
在贝当古模型中，城市的道路网络被假设为是一个层级化的分形网络，越底层的分支路面越窄。网络的每一层都对应着b个下一层的分支数。于是，整个道路网络就被构造成了一个规则的树状结构，分叉数为b，如下图所示
在贝当古模型中，城市的道路网络被假设为是一个层级化的分形网络，越底层的分支路面越窄。网络的每一层都对应着b个下一层的分支数。于是，整个道路网络就被构造成了一个规则的树状结构，分叉数为b，如下图所示