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'''粗粒化映射'''：从上图TPM可以看出，这个概率转移矩阵非常复杂，但同时矩阵也有一些规律可循，比如前12行和后4行的模式差异较大，前12行中每4行的模式都是重复的。因此思考是否可以提炼出其中的规律，更加高效地表达系统间的状态转移模式。首先可以看系统内是有分组机制，四个元素被分为了两组，每组都接受另一组元素的输入且响应机制相同，同组元素的状态之间不会互相影响，因此同组元素之间是独立等价的，可以被映射或归类为同一个宏观元素。微观系统[math]S_m = \{ABCD\}[/math]可以被粗粒化为有两个元素[math]{α, β}[/math]的宏观系统[math]S_M[/math]。考虑微观状态的转移机制，输入值00，01和10决定状态的规则相同，输入值11对应另一种，因此每个宏观元素状态可以映射为{"off" ,"on"}两种。

'''粗粒化映射'''：从上图TPM可以看出，这个概率转移矩阵非常复杂，但同时矩阵也有一些规律可循，比如前12行和后4行的模式差异较大，前12行中每4行的模式都是重复的。因此思考是否可以提炼出其中的规律，更加高效地表达系统间的状态转移模式。首先可以看系统内是有分组机制，四个元素被分为了两组，每组都接受另一组元素的输入且响应机制相同，同组元素的状态之间不会互相影响，因此同组元素之间是独立等价的，可以被映射或归类为同一个宏观元素。微观系统[math]S_m = \{ABCD\}[/math]可以被粗粒化为有两个元素[math]{α, β}[/math]的宏观系统[math]S_M[/math]。考虑微观状态的转移机制，输入值00，01和10决定状态的规则相同，输入值11对应另一种，因此每个宏观元素状态可以映射为{"off" ,"on"}两种。

'''宏观尺度'''：宏观系统现在由2个元素组成，每个元素由2个状态，所以宏观系统整体共有[math]2^2=4[/math]个可能的状态。将系统以等概率设置为所有可能的宏观状态，根据宏观的转移规则，可以得到 4 × 4 的[math]S_M[/math] 概率转移矩阵(图E)。由图E可见，矩阵规模减小，但是状态间的转移规律更明确。宏观尺度下[math]EI(S_M) = Det(S_M) - Deg(S_M) = 1.56 - 0.01 = 1.55 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_M) = 0.78[/math]，高于微观尺度的[math]EI(S_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现度量[math]CE(S) = EI(S_M) - EI(S_m) = 0.40 \text{ bits}[/math]，宏观的因果性优于微观，因果涌现发生。

'''宏观动力学'''：粗粒化后，现在由2个宏观变量组成，每个宏观变量有2个态，所以共有[math]2^2=4[/math]个宏观态。将系统以等概率设置为所有可能的宏观态，根据宏观态之间的转移规则，可以得到 4 × 4 的[math]S_M[/math] 概率转移矩阵。粗粒化后，宏观态的概率转移矩阵规模减小，但是状态间的转移规律更明确。宏观动力学[math]EI(S_M) = Det(S_M) - Deg(S_M) = 1.56 - 0.01 = 1.55 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_M) = 0.78[/math]，高于微观动力学的[math]EI(S_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现度量[math]CE(S) = EI(S_M) - EI(S_m) = 0.40 \text{ bits}[/math]，宏观动力学的因果性优于微观动力学，因果涌现发生。

本例中，在宏观尺度的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益主要来自于减少噪声干扰，即确定性提高（归一化后：[math]Det(S_m) = 0.34[/math]; [math]Det(S_M) = 0.78[/math]），少部分来源于简并性减少（归一化后：[math]Deg(S_m) = 0.05[/math]; [math]Deg(S_M) = 0.006[/math]）。

本例中，在宏观动力学的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益主要来自于减少噪声干扰，即确定性提高（归一化后：[math]Det(S_m) = 0.34[/math]; [math]Det(S_M) = 0.78[/math]），少部分来源于简并性减少（归一化后：[math]Deg(S_m) = 0.05[/math]; [math]Deg(S_M) = 0.006[/math]）。

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'''2.抵消简并性实例分析'''

'''2.抵消简并性实例分析'''

'''微观机制'''：微观系统由6个布尔元素[math]S_m = \{ABCDEF\}[/math]构成，其中A、B接受E和F的输入，C、D接受A和B的输入，E、F接受C和D输入。响应机制为确定性AND门，对应完全确定性（元素根据输入转移至完全确定的状态）和高简并度（输入00，01，10转移至相同状态）。微观系统的概率转移矩阵可以按照上述例子的方法计算，如下图所示，前一时刻很多状态下一时刻转移到相同状态，简并性较高。根据有效信息计算，得到[math]EI(S_m) = 2.43 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = 0.4[/math]。

'''微观动力学'''：系统有6个布尔变量[math]S_m = \{ABCDEF\}[/math]，其中A、B接受E和F的输入，C、D接受A和B的输入，E、F接受C和D输入。响应机制为确定性AND门，对应完全确定性（变量根据输入转移至完全确定的状态）和高简并度（输入00，01，10转移至相同状态）。微观动力学的概率转移矩阵可以按照上述例子的方法计算，如下图所示，前一时刻很多状态下一时刻转移到相同状态，简并性较高。根据有效信息计算，得到[math]EI(P_m) = 2.43 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_m) = 0.4[/math]。

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'''粗粒化映射'''：同上例，根据微观机制的分组，接受相同输入的元素可以被分为同一组，因此可以分为3个宏观元素。根据机制的同类性，{[00,01,10], [11]}可归并为宏观态{"off" ,"on"}，输入宏观态为”off“时，宏观元素响应也为”off“，反之亦然。确定性AND门映射为宏观COPY门，即宏观元素完全复制输入元素的状态。

'''粗粒化映射'''：同上例，根据微观机制的分组，接受相同输入的元素可以被分为同一组，因此可以分为3个宏观元素。根据机制的同类性，{[00,01,10], [11]}可归并为宏观态{"off" ,"on"}，输入宏观态为”off“时，宏观元素响应也为”off“，反之亦然。确定性AND门映射为宏观COPY门，即宏观元素完全复制输入元素的状态。

'''宏观尺度'''：宏观尺度的概率转移矩阵下图所示，可得到宏观[math]EI(S_M) = 3  \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_M) = 1[/math]，[math]CE = EI(S_M) - EI(S_m) = 0.57 \text{ bits}[/math]，因果涌现发生。进一步拆解分析可知，微观和宏观机制都是完全确定性的，但粗粒化后宏观简并性明显减小 [math]\Delta Deg = -0.6[/math]，对应图中不同行的状态下一时刻转移至不同状态。在本实例中粗粒化映射抵消简并性主导了因果涌现的发生。

'''宏观动力学'''：宏观尺度的概率转移矩阵下图所示，可得到宏观[math]EI(S_M) = 3  \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_M) = 1[/math]，[math]CE = EI(S_M) - EI(S_m) = 0.57 \text{ bits}[/math]，因果涌现发生。进一步拆解分析可知，微观和宏观机制都是完全确定性的，但粗粒化后宏观简并性明显减小 [math]\Delta Deg = -0.6[/math]，对应图中不同行的状态下一时刻转移至不同状态。在本实例中粗粒化映射抵消简并性主导了因果涌现的发生。

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