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第100行： + − 式子（1）描述的简化过程，是我们从任意一个初始状态<math>s^{(0)}=\pi</math>开始，走了<math>t</math>步微观动力学，然后在每一步<math>t</math>做粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>的过程。在这里，我们强调初始状态分布<math> \pi </math>，是因为这三个概率的取值有可能会随着不同的<math> \pi </math>而变化。+ − − − − 因为有些简化过程的概率会受到初始状态<math> \pi </math>影响，或者因为它们不符合马尔科夫性，如图（1）的例子所示，我们无法用这种‘失败’的简化过程来描述一个和微观过程保持一致的宏观动力学。下面，我们会把‘成功’的情况定义为成块的划分，而‘失败’的情况则是不成块的。 + + − + − + − 其中，因为<math>\Phi</math>不是方阵，我们定义<math>\Phi^{\dagger}</math>为<math>\Phi</math>的伪逆矩阵，满足<math>\Phi \Phi^{\dagger} \Phi = \Phi</math>。另外，<math>\Phi^T \Phi</math>是一个对角阵，对角线上的元素为每个<math>A_i</math>包括了多少个微观状态的计数，而它的逆矩阵就是把对角线上的元素全部取倒数。+ − 第124行：
第122行： −
→简化过程定义
式子（1）描述的简化过程，是我们从任意一个初始状态分布<math>s^{(0)}=\pi</math>开始，走了<math>t</math>步的微观动力学，然后在每一步<math>t</math>做粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>的过程。在这里，我们强调对初始状态分布<math> \pi </math>的依赖，是因为这三个概率的取值有可能会随着不同的<math> \pi </math>而变化。
因为简化过程是从<math>s^{(t)}</math>先经历微观动力学演化再粗粒化到达<math>A^{(t+1)}</math>，所以走的是图（2）中"微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态"的这条路径（细心的读者可能会发现在图中还有另一条路径，我们会在后面讨论）。需要注意的是，虽然我们能对任意一个状态划分<math>\Phi</math>定义这样的简化过程，但是这些简化过程不一定会拥有马尔科夫性。
因为简化过程是从<math>s^{(t)}</math>先走微观动力学再粗粒化到达<math>A^{(t+1)}</math>，所以走的是图（2）中"微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态"的这一条路径（细心的读者可能会发现在图中还有另一条路径，我们会在后面讨论）。需要注意的是，虽然我们能对任意一个状态划分<math>\Phi</math>定义这样的简化过程，但是这些简化过程不一定会拥有马尔科夫性。
因为有些简化过程的概率会受到初始状态<math> \pi </math>的影响，或者它们不符合马尔科夫性。如图（1）的例子所示，我们无法用这种‘失败’的简化过程来描述一个和微观过程保持一致的宏观动力学。下面，我们会用'''成块性'''这一新概念来定义所谓的'成功'的动力学，即我们会把‘成功’的情况定义为成块的划分，而‘失败’的情况则是不成块的。
===成块的划分===
'''''定义2'''''：'''成块的划分 lumpable partition'''
'''''定义2'''''：'''成块的划分 lumpable partition'''
'''对于一个给定的状态划分 <math>\Phi</math>，当下列两个条件都满足时，<math>\Phi</math>是一个成块的划分（lumpable partition）。'''
'''对于一个给定的状态划分 <math>\Phi</math>，当下列两个条件同时满足时，<math>\Phi</math>是一个成块的划分（lumpable partition）。'''
'''1. 定义1中式子(1)描述的简化过程具有马尔科夫性，即式子(1.3)可写成式子(1.2)的形式'''{{NumBlk|:|<math>Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... , s^{(1)} \in A_j, s^{(0)} \in A_i \right ] = Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k \right ]</math>|{{EquationRef|2}}}}
'''1. 定义1中式子(1)所描述的简化过程具有马尔科夫性，即式子(1.3)可写成式子(1.2)的形式'''{{NumBlk|:|<math>Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... , s^{(1)} \in A_j, s^{(0)} \in A_i \right ] = Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k \right ]</math>|{{EquationRef|2}}}}
'''2. 转移概率(transition probability)，即式子(1.3)或式子(2)，对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致，从而我们能够得出宏观的概率转移矩阵<math>P' = \Phi^T P (\Phi^T)^{-1} = \Phi^T P \Phi^{\dagger} = \Phi^T P \Phi (\Phi^T \Phi)^{-1}</math>'''
'''2. 转移概率(transition probability)，即式子(1.3)或式子(2)，对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致，从而我们能够得出宏观的概率转移矩阵<math>P' = \Phi^T P (\Phi^T)^{-1} = \Phi^T P \Phi^{\dagger} = \Phi^T P \Phi (\Phi^T \Phi)^{-1}</math>'''
其中，因为在一般情况下，<math>\Phi</math>不是方阵，所以我们定义<math>\Phi^{\dagger}</math>为<math>\Phi</math>的伪逆矩阵，满足<math>\Phi \Phi^{\dagger} \Phi = \Phi</math>。另外，<math>\Phi^T \Phi</math>是一个对角阵，对角线上的元素为每个<math>A_i</math>包括了多少个微观状态的计数，而它的逆矩阵就是把对角线上的元素全部取倒数。
从图（3）的成块划分的例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，成块的动力学TPM可以找到一个简化过程，而这个简化过程满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致。无论<math>s^{(t)}</math>是什么，<math>\{ s^{(t)}, s^{(t+1)} \}</math>投影到宏观空间上的<math>\{ A^{(t)}, A^{(t+1)} \}</math>的<math> P( A^{(t+1)} | A^{(t)} )</math>都保持一致。
从图（3）的成块划分的例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，成块的动力学TPM可以找到一个简化过程，而这个简化过程满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致。无论<math>s^{(t)}</math>是什么，<math>\{ s^{(t)}, s^{(t+1)} \}</math>投影到宏观空间上的<math>\{ A^{(t)}, A^{(t+1)} \}</math>的<math> P( A^{(t+1)} | A^{(t)} )</math>都保持一致。