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→增长模型
</math>
</math>
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该矩阵只有两个奇异值矩阵秩<math>r=2<4</math>。如图e所示，横轴表示逆向动力学协方差矩阵的奇异值<math>s_1\geq\dots\geq s_4</math>, 纵轴表示奇异值大小, 通过计算我们可以得知清晰因果涌现为<math>\Delta\Gamma_\alpha(0)=0.4034</math>.
该矩阵只有两个奇异值矩阵秩<math>r=2<4</math>。由于正向矩阵是对角单位阵和常数数乘得到，因此我们只需要考虑逆向动力学的矩阵。如图e所示，横轴表示逆向动力学协方差矩阵的奇异值<math>s_1\geq\dots\geq s_4</math>, 纵轴表示奇异值大小, 通过计算我们可以得知清晰因果涌现为<math>\Delta\Gamma_\alpha(0)=0.4034</math>。
同时我们可以对矩阵A增加一些扰动，使
<blockquote>
<math>
A = \left(\begin{matrix}
1.2 & 0 &0 &0 \\
0 & 1.05 &0.001 &0 \\
1.22 & 0 &0.4 &0.1 \\
0 & 1.06 &0.03 &0.5
\end{matrix}\right)
</math>
</blockquote>
此时A和<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>都是满秩矩阵，但是通过观察图f中的奇异值谱，我们只能看到两个较大的逆向动力学奇异值<math>s_1，s_2</math>，此时我们就需要引入模糊因果涌现。我们规定阈值<math>\epsilon=2</math>, 模糊因果涌现可以计算得到<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)=0.4195</math>。
我们可以直接得到图g和h中的粗粒化策略参数矩阵，可以看到A不满秩的时候，粗粒化策略只保留了前两个维度的信息，而A满秩的时候，粗粒化策略将<math>x_1,x_3</math>信息合并，<math>x_2,x_4</math>信息合并，一次达到降维的效果。
[[文件:增长布朗.jpg|替代=|600x600像素|增长模型和布朗运动相关数值模拟结果]]
[[文件:增长布朗.jpg|替代=|600x600像素|增长模型和布朗运动相关数值模拟结果]]