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基于部分信息分解（PID）框架，作者提出了系统在指定宏观变量和未指定宏观变量情况下分别定义因果涌现的方法：

基于部分信息分解（PID）框架，作者提出了系统在指定宏观变量和未指定宏观变量情况下分别定义因果涌现的方法：

1) 在指定系统的宏观随附特征 <math>V_t</math> 时，当特有信息满足 <math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t)>0</math>，即当前时刻的宏观态 <math>V_t</math> 能超过当前时刻的微观态 <math>X_t</math> 给下一时刻的整体系统 <math>X_{t+1}</math> 提供更多信息，则系统存在因果涌现；

1) 在指定系统的宏观随附特征 <math>V_t</math> 时，当特有信息满足 <math>Un^{(k)}(V_t;X_{t+1}| X_t)>0</math>，即当前时刻的宏观态 <math>V_t</math> 能超过当前时刻的微观态 <math>X_t</math> 给下一时刻的整体系统 <math>X_{t+1}</math> 提供更多信息，则系统存在因果涌现。此处的 <math>k</math>表示排除掉系统内每<math>k</math>个变量所构成的变量组内部所产生的该效应（类似于在微观和宏观间加入针对所有大小为<math>k</math>的子集的粗粝化中间层，然后仅关注从该中间层出发到宏观层间的效应）。为了便于理解，在本词条的后续介绍中默认<math>k=1</math>，既不存在中间层的情况。

基于以上的定义，Rosas 等人进一步提出了引理以支撑因果涌现的定义。

基于以上的定义，Rosas 等人进一步提出了引理以支撑因果涌现的定义。

2. 宏观变量不是任何一个微观变量的确定性函数。这与第一点类似，既 <math>V_t</math> 能够以高于单一微观态的方式（协同方式）预测系统的未来状态。

2. 宏观变量不是任何一个微观变量的确定性函数。这与第一点类似，既 <math>V_t</math> 能够以高于单一微观态的方式（协同方式）预测系统的未来状态。

'''编者注：''' 此处作者的数学表述有歧义，因果涌现指标想要表示的是不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被他们之间的协同效应(的代表<math>V_t</math> )所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。因此将因果涌现指标写成 <math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t)>0</math>并不妥当，因为通常来说系统的宏观特征应当是系统所有微观态的一个确定性函数，既<math>H(V_t| X_t)=0</math>（比如知道了系统内的所有分子的状态，那么系统的宏观状态应当是明确的）。这个问题会导致现有的指标永远等于0，并不能实现作者所希望的效果。作为对这个问题的修正，我们提议将 该指标写作<math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t^1,...,X_t^n )>0</math>，该表示方式代表不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被<math>V_t</math>所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。但是需要注意的是，尽管这种表示方式能够严谨的表达因果涌现的定义，但是无法套用一般的PID算法对该指标进行计算。如果想要计算修正后的该指标，需要引入有粗砺化函数的PhiID框架，但该部分内容目前尚未被探索。

'''编者注：''' 此处作者的数学表述有歧义，因果涌现指标想要表示的是不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被他们之间的协同效应(的代表<math>V_t</math> )所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。因此将因果涌现指标写成 <math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t)>0</math>并不妥当，因为通常来说系统的宏观特征应当是系统所有微观态的一个确定性函数，既<math>H(V_t| X_t)=0</math>（比如知道了系统内的所有分子的状态，那么系统的宏观状态应当是明确的）。这个问题会导致该指标永远等于0，并不能实现作者所希望的效果。作为对这个问题的修正，我们提议将该指标写作<math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t^1,...,X_t^n )>0</math>，该表示方式代表不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被<math>V_t</math>所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。但是需要注意的是，尽管这种表示方式能够严谨的表达因果涌现的定义，但是无法套用PID算法对该指标进行计算。如果想要计算修正后的该指标，需要引入有粗砺化函数的PhiID框架，但该部分理论内容目前尚未被完善。

2) 在未指定系统的宏观随附特征时，基于系统当前时刻的微观态 <math>X_t</math> 和下一时刻的微观态 <math>X_{t+1}</math> 之间的协同信息 <math>Syn(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1}^1,...,X_{t+1}^n)>0</math>，若该协同信息大于零，则先前时刻与后续时刻变量之间存在不可约的协同效应（irreducible synergy），即系统发生因果涌现。

2) 在未指定系统的宏观随附特征时，基于系统当前时刻的微观态 <math>X_t</math> 和下一时刻的微观态 <math>X_{t+1}</math> 之间的协同信息 <math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>，若该协同信息大于零，则先前时刻与后续时刻变量之间存在不可约的协同效应（irreducible synergy），即系统发生因果涌现。此处默认<math>k=1</math>时的定义与<math>Syn(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>不同，前者代表系统内所有子集所产生协同效应的总和，而后者仅代表包括了所有变量的协同效应，是前者的一部分。

值得注意的是，方法一判断因果涌现的发生需要依赖宏观态 <math>V_t</math> 的选择，而方法二是方法一的下界。这是因为：

值得注意的是，方法一判断因果涌现的发生需要依赖宏观态 <math>V_t</math> 的选择，而方法二是方法一的下界。这是因为：