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[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]的新框架，该方法基于奇异值分解，提出了近似动力学可逆性（<math>\Gamma_{\alpha}</math>）的概念，用于量化[[马尔科夫动力学]]接近可逆动力学的程度，该指标在离散的马尔科夫链（TPM）和连续的具有高斯噪声的连续马尔科夫系统都有相应的表达方式与意义；与此同时，该理论还提出了一种不依赖于粗粒化方案就能直接根据动力学的奇异值谱判断因果涌现是否发生的方法。经过理论推导和数值实验证明，在对因果涌现的判断和量化上，基于近似可逆性指标的因果涌现与[[Erik Hoel]]等人提出的基于[[有效信息]]（EI）指标最大化的因果涌现判断是等效的，且<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>和EI是存在着渐近近似相等的关系；而在连续高斯噪声迭代系统重，两种指标甚至可以推导出近似的线性关系表达式。此外，该理论还提出了基于奇异值分解（SVD）的新粗粒化策略，并通过实验证明了该方法的有效性。

[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]的新框架，该方法基于奇异值分解，提出了近似动力学可逆性（<math>\Gamma_{\alpha}</math>）的概念，用于量化[[马尔科夫动力学]]接近可逆动力学的程度，该指标在离散的马尔科夫链（TPM）和连续的具有高斯噪声的连续马尔科夫系统都有相应的表达方式与意义；与此同时，该理论还提出了一种不依赖于粗粒化方案就能直接根据动力学的奇异值谱判断因果涌现是否发生的方法。经过理论推导和数值实验证明，在对因果涌现的判断和量化上，基于近似可逆性指标的因果涌现与[[Erik Hoel]]等人提出的基于[[有效信息]]（EI）指标最大化的因果涌现判断是等效的，且<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>和EI是存在着渐近近似相等的关系；而在连续高斯噪声迭代系统中，两种指标甚至可以推导出近似的线性关系表达式。此外，该理论还提出了基于奇异值分解（SVD）的新粗粒化策略，并通过实验证明了该方法的有效性。

=简介=

=简介=

2024年，[[张江]]等人<ref name=":22">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于[[奇异值分解]]，提出了一套新的因果涌现理论。该理论的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行奇异值分解，将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的因果效应强度。根据奇异值的谱，该方法可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''（clear causal emergence）和'''模糊因果涌现'''（vague causal emergence）的概念。

2024年，[[张江]]等人<ref name=":22">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于[[奇异值分解]]，提出了一套新的因果涌现理论。该理论的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行奇异值分解，将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的因果效应强度。根据奇异值的谱，该方法可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''（clear causal emergence）和'''模糊因果涌现'''（vague causal emergence）的概念。

2025年，基于可逆性的的因果涌现理论<ref name=":15" />又被成功的拓展到了高斯噪声迭代系统之中。对于一个具有高斯噪声的迭代系统，可以类比马尔科夫转移矩阵计算奇异值的方法，并利用泛函分析和傅里叶变换的方法，得到频域空间中连续动力系统重的可逆性度量指标<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \int_{-\infty}^\infty\sigma^{\alpha}(\omega)</math>。而与离散状态空间不同，对于连续的空间，无论<math>n</math>取多少<math>\mathcal{R}^n</math>之间状态数量都是无穷，势是相同的，因此无法直接从状态上进行约减。我们需要把涌现的研究对象，从概率空间转移到欧式空间，而<math>\Gamma_{\alpha}</math>恰好与正向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>\Sigma^{-1}</math>与逆向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>正相关，两个协方差矩阵在一起可以反应不同欧式空间维度的可逆性。因此在欧式空间，我们也可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''和'''模糊因果涌现'''。

2025年，基于可逆性的的因果涌现理论<ref name=":15" />又被成功的拓展到了高斯噪声迭代系统之中。对于一个具有高斯噪声的迭代系统，可以类比马尔科夫转移矩阵计算奇异值的方法，并利用泛函分析和傅里叶变换的方法，得到频域空间中连续动力系统的可逆性度量指标<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \int_{-\infty}^\infty\sigma^{\alpha}(\omega)</math>。而与离散状态空间不同，对于连续的空间，无论<math>n</math>取多少<math>\mathcal{R}^n</math>之间状态数量都是无穷，势是相同的，因此无法直接从状态上进行约减。我们需要把涌现的研究对象，从概率空间转移到欧式空间，而<math>\Gamma_{\alpha}</math>恰好与正向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>\Sigma^{-1}</math>与逆向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>正相关，两个协方差矩阵在一起可以反映不同欧式空间维度的可逆性。因此在欧式空间，我们也可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''和'''模糊因果涌现'''。

基于可逆性的因果涌现理论与已有的其他因果涌现理论最大的区别就是不需要指定粗粒化策略，仅从马尔科夫转移矩阵或高斯迭代系统的奇异值谱就能判断因果涌现的发生，一定程度上规避了观察者效应的问题和最大化有效信息的难以优化求解的问题。

基于可逆性的因果涌现理论与已有的其他因果涌现理论最大的区别就是不需要指定粗粒化策略，仅从马尔科夫转移矩阵或高斯迭代系统的奇异值谱就能判断因果涌现的发生，一定程度上规避了观察者效应的问题和最大化有效信息的难以优化求解的问题。