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第101行： − ==== 系统的因果涌现能力 ==== + − 在未指定系统的宏观随附特征时，基于系统当前时刻的微观态 <math>X_t</math> 和下一时刻的微观态 <math>X_{t+1}</math> 之间的协同信息 <math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>，若该协同信息大于零，则先前时刻与后续时刻变量之间存在不可约的协同效应（irreducible synergy），即系统发生因果涌现。此处默认<math>k=1</math>时的定义代表系统内所有子集所产生协同效应的总和，而非仅包括了所有变量的协同效应，后者只是前者的一部分。+ − 值得注意的是，方法一判断因果涌现的发生需要依赖宏观态 <math>V_t</math> 的选择，而方法二是方法一的下界。这是因为： + + −
→因果涌现定义
在研究因果涌现（Causal Emergence）的框架下，我们考虑一个多变量动力系统，其中系统的状态随时间演化，并可以从微观层级（microscopic level）和宏观层级（macroscopic level）进行观察和建模。基于部分信息分解（PID）框架，作者提出了系统在指定宏观变量和未指定宏观变量情况下分别定义因果涌现的方法：
在研究因果涌现（Causal Emergence）的框架下，我们考虑一个多变量动力系统，其中系统的状态随时间演化，并可以从微观层级（microscopic level）和宏观层级（macroscopic level）进行观察和建模。基于部分信息分解（PID）框架，作者提出了系统在指定宏观变量和未指定宏观变量情况下分别定义因果涌现的方法：
==== 系统的因果涌现能力 ====
在未指定系统的宏观随附特征时，基于系统当前时刻的微观态 <math>X_t</math> 和下一时刻的微观态 <math>X_{t+1}</math> 之间的协同信息 <math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>，若该协同信息大于零，则先前时刻与后续时刻变量之间存在不可约的协同效应（irreducible synergy），即系统发生因果涌现。此处默认<math>k=1</math>时的定义代表系统内所有子集所产生协同效应的总和，而非仅包括了所有变量的协同效应，后者只是前者的一部分。
==== 特定宏观特征的因果涌现 ====
==== 特定宏观特征的因果涌现 ====
'''编者注：''' 此处作者的数学表述有歧义，因果涌现指标想要表示的是不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被他们之间的协同效应(的代表<math>V_t</math> )所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。因此将因果涌现指标写成 <math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t)>0</math>并不妥当，因为通常来说系统的宏观特征应当是系统所有微观态的一个确定性函数，既<math>H(V_t| X_t)=0</math>（比如知道了系统内的所有分子的状态，那么系统的宏观状态应当是明确的）。这个问题会导致该指标永远等于0，并不能实现作者所希望的效果。作为对这个问题的修正，我们提议将该指标写作<math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t^1,...,X_t^n )>0</math>，该表示方式代表不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被<math>V_t</math>所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。但是需要注意的是，尽管这种表示方式能够严谨的表达因果涌现的定义，但是无法套用PID算法对该指标进行计算。如果想要计算修正后的该指标，需要引入有粗砺化函数的PhiID框架，但该部分理论内容目前尚未被完善。
'''编者注：''' 此处作者的数学表述有歧义，因果涌现指标想要表示的是不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被他们之间的协同效应(的代表<math>V_t</math> )所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。因此将因果涌现指标写成 <math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t)>0</math>并不妥当，因为通常来说系统的宏观特征应当是系统所有微观态的一个确定性函数，既<math>H(V_t| X_t)=0</math>（比如知道了系统内的所有分子的状态，那么系统的宏观状态应当是明确的）。这个问题会导致该指标永远等于0，并不能实现作者所希望的效果。作为对这个问题的修正，我们提议将该指标写作<math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t^1,...,X_t^n )>0</math>，该表示方式代表不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被<math>V_t</math>所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。但是需要注意的是，尽管这种表示方式能够严谨的表达因果涌现的定义，但是无法套用PID算法对该指标进行计算。如果想要计算修正后的该指标，需要引入有粗砺化函数的PhiID框架，但该部分理论内容目前尚未被完善。
值得注意的是，方法二判断因果涌现的发生需要依赖宏观态 <math>V_t</math> 的选择，而方法一是方法二的下界。这是因为：
<math>
<math>
Syn(X_t;X_{t+1}) \geq Un(V_t;X_{t+1}| X_t)
Syn(X_t;X_{t+1}) \geq Un(V_t;X_{t+1}| X_t)
</math>
</math>
若 <math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t)</math> 大于 0，则系统必然会出现因果涌现。然而，<math>V_t</math> 的选择往往需要预先定义粗粒化函数，因此方法一无法回避 [[Erik Hoel因果涌现理论]] 的局限。而方法二借助协同信息来判断因果涌现的发生，但协同信息的计算复杂，存在组合爆炸问题，往往不可行。
若 <math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t)</math> 大于 0，则系统必然会出现因果涌现。然而，<math>V_t</math> 的选择往往需要预先定义粗粒化函数，因此方法一无法回避 [[Erik Hoel因果涌现理论]] 的局限。而方法二借助协同信息来判断因果涌现的发生，但协同信息的计算复杂，存在组合爆炸问题，往往不可行。
=== 因果涌现分类框架 ===
=== 因果涌现分类框架 ===