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→爆炸
====爆炸====
====爆炸====
=====最小的连续时间马尔科夫链=====
我们前面所讨论的都是有限状态空间中的连续时间马尔科夫链，如果状态空间是无限的，可能会在有限时间内发生无限次状态转移，此时称发生了爆炸。我们定义'''爆炸时间'''<math>\zeta</math>来描述爆炸：
<math>\zeta=\sup_n J_n=\sum_{n=1}^{\infty}S_n</math>
如果<math>\zeta<\infty</math>，则称发生了爆炸；否则，就没有发生爆炸。当发生爆炸之后，由于时齐性，我们完全可以看做整个随机过程重新开始了，所以可以在状态空间<math>S={1,2,3,\dots}</math>上添加一个特殊的状态<math>\infty</math>来描述爆炸发生后的状态，而不关心具体发生了什么。即当<math>t\geq \zeta</math>时，定义<math>X_t=\infty</math>。我们这样的连续时间马尔科夫链为'''最小的'''，用这种方法描述发生爆炸的连续时间马尔科夫链可以为我们带来很多便利。
=====不发生爆炸的充分条件=====
大多数情况下，我们关心的都是没有发生爆炸的连续时间马尔科夫链，所以我们给出判断不发生爆炸的三个充分条件，它们非常实用：
<math>(i) |S|<\infty</math>
<math>(ii) \sup_{i\in S}Q_{ii}<\infty</math>
<math>(iii) X_</math>
我们称状态<math>i</math>是'''常返的'''，当<math>\mathbb{P}(\sup(\{t\geq 0:X_t=I\})=\infty )=1</math>，直观上来说就是连续时间马尔科夫链会无限次返回状态<math>i</math>。
=====无限状态空间下<math>P(t)</math>与Q-矩阵的关系=====
在无限状态空间下，给定一个Q-矩阵<math>Q</math>，我们可以像在有限状态空间中一样写出向前方程和向后方程：
===过程描述===
===过程描述===