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基于可逆性的因果涌现理论 (查看源代码)

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→‎增长模型

第578行：第578行：

==连续系统==

===增长模型===

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假设一个4维的向量，前两个维度<math>x_1,x_2</math>遵循增长率为0.2和0.05的马尔萨斯增长模型。同时另外两个维度<math>x_3,x_4</math>~~直接复制了前两个维度的状态，他们和前两个维度高度相关，甚至可以视为冗余的维度。我们设微观态~~<math>x=(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>, 模型的动力学可以写成<math>x_{t+1}=a_0+Ax_t+\varepsilon_t, \varepsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2 I_4)</math>，其中<math>x_t,x_{t+1}\in\mathcal{R}^{4}</math>, <math>\sigma^2=0.1</math>, <math>a_0=0</math>, 并且

+

假设一个4维的向量，前两个维度<math>x_1,x_2</math>遵循增长率为0.2和0.05的马尔萨斯增长模型。同时另外两个维度<math>x_3,x_4</math>直接复制了前两个维度的状态如图a所示，他们和前两个维度高度相关，甚至可以视为冗余的维度，最终生成数据如图d所示。我们设微观态<math>x=(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>, 模型的动力学可以写成<math>x_{t+1}=a_0+Ax_t+\varepsilon_t, \varepsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2 I_4)</math>，其中<math>x_t,x_{t+1}\in\mathcal{R}^{4}</math>, <math>A</math>是增长率构成的矩阵， <math>\sigma^2=0.1</math>是对角化的协方差矩阵, <math>a_0=0</math>是自然参数, 并且

<math>

第589行：第589行：

</math>

</blockquote>

−

该矩阵只有两个奇异值矩阵秩<math>r=2<4</math>~~。由于正向矩阵是对角单位阵和常数数乘得到，因此我们只需要考虑逆向动力学的矩阵。如图e所示，横轴表示逆向动力学协方差矩阵的奇异值~~<math>s_1\geq\dots\geq s_4</math>, 纵轴表示奇异值大小, 通过计算我们可以得知清晰因果涌现为<math>\Delta\Gamma_\alpha(0)=0.4034</math>。

+

该矩阵只有两个奇异值矩阵秩<math>r=2<4</math>。由于正向矩阵是对角单位阵和常数数乘得到，因此我们只需要考虑逆向动力学的矩阵。如图c所示，横轴表示逆向动力学协方差矩阵的奇异值<math>s_1\geq\dots\geq s_4</math>, 纵轴表示奇异值大小, 通过计算我们可以得知清晰因果涌现为<math>\Delta\Gamma_\alpha(0)=0.4034</math>，逆向动力学协方差矩阵如图b所示。

同时我们可以对矩阵A增加一些扰动，使

第602行：第602行：

</math>

</blockquote>

−

~~此时A和~~<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>~~都是满秩矩阵，但是通过观察图f中的奇异值谱，我们只能看到两个较大的逆向动力学奇异值~~<math>s_1，s_2</math>，此时我们就需要引入模糊因果涌现。我们规定阈值<math>\epsilon=2</math>, 模糊因果涌现可以计算得到<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)=0.4195</math>。

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此时增长率参数矩阵<math>A</math>和<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>（图e所示）都是满秩矩阵，但是通过观察图f中的奇异值谱，我们只能看到两个较大的逆向动力学奇异值<math>s_1，s_2</math>，此时我们就需要引入模糊因果涌现。我们规定阈值<math>\epsilon=2</math>, 模糊因果涌现可以计算得到<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)=0.4195</math>。

我们可以直接得到图g和h中的粗粒化策略参数矩阵，可以看到A不满秩的时候，粗粒化策略只保留了前两个维度的信息，而A满秩的时候，粗粒化策略将<math>x_1,x_3</math>信息合并，<math>x_2,x_4</math>信息合并，一次达到降维的效果。

第665行：第665行：

</math>

</blockquote>

−

~~我们可以采取和增长模型相同的数据处理方法，~~<math>x_3,x_4</math>直接复制了前两个维度的状态，得到<math>x=(S,I,S,I)</math>，之后我们可以将模型离散化，即

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其中S表示易感态样本的比例，I表示感染态的比例，R表示恢复态的比例，三者的关系如图a所示。我们可以采取和增长模型相同的数据处理方法，<math>x_3,x_4</math>直接复制了前两个维度的状态，得到<math>x=(S,I,S,I)</math>，之后我们可以将模型离散化，即

<math>

第671行：第671行：

</math>

</blockquote>

−

~~从图h中可以看出，~~<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>有两个较大的奇异值，<math>r_\epsilon=2</math>，因为<math>\epsilon=5</math>~~。在模型训练中，当训练周期为50000时，我们得到因果涌现的值为~~<math>\Delta\Gamma\alpha（\epsilon）=0.8685</math>~~，如图j所示。~~

+

由此可以得到图b中的生成数据。从图e中可以看出，<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>有两个较大的奇异值，<math>r_\epsilon=2</math>，因为<math>\epsilon=5</math>，正逆向的协方差矩阵如图c和d所示。在模型训练中，当训练周期为50000时，我们得到因果涌现的值为<math>\Delta\Gamma\alpha（\epsilon）=0.8685</math>。

[[文件:SIR模型.png|替代=|935x935像素]]

千伏电压

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