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第648行： − 在得到图m中的奇异值谱之后，规定<math>\epsilon=0.6</math>，我们可以得到<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)=0.5167</math>，其中有效秩<math>r_\epsilon=4</math>， <math>s_1,\cdots,s_4</math>和<math>\kappa_1,\cdots,\kappa_4</math>需要被保留。+ + + 第671行：
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→离散化布朗运动
===离散化布朗运动===
===离散化布朗运动===
离散布朗运动是离散时间内连续布朗运动的近似，常用于数值模拟和随机过程建模。方程<math>x_{t+1}=Ax_t+\varepsilon_t</math>可以被视为奥恩斯坦-乌伦贝克（OU）过程的离散版本方法。在这个模型中，<math>\mu=a_0+Ax_t</math>是影响状态演化的漂移向量，协方差矩阵<math>\Sigma</math>表示扩散系数，它决定了<math>\varepsilon_t</math>维度上随机波动的幅度和相关性。
离散布朗运动是离散时间内连续布朗运动的近似，常用于数值模拟和随机过程建模。方程<math>x_{t+1}=Ax_t+\varepsilon_t</math>可以被视为奥恩斯坦-乌伦贝克（OU）过程的离散版本方法，如图a所示。在这个模型中，<math>\mu=a_0+Ax_t</math>是影响状态演化的漂移向量，协方差矩阵<math>\Sigma</math>表示扩散系数，它决定了<math>\varepsilon_t</math>维度上随机波动的幅度和相关性。
对<math>\Sigma^{-1}</math>和<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>进行SVD分解之后我们可以得到奇异向量矩阵<math>U=(u_1,\cdots,u_n)</math>和<math>V=(v_1,\cdots,v_n)</math>其中
对<math>\Sigma^{-1}</math>和<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>（如图b、c所示）进行SVD分解之后我们可以得到奇异向量矩阵<math>U=(u_1,\cdots,u_n)</math>和<math>V=(v_1,\cdots,v_n)</math>其中
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</math>
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在得到图d中的奇异值谱之后，规定<math>\epsilon=0.6</math>，我们可以得到<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)=0.5167</math>，其中有效秩<math>r_\epsilon=4</math>， <math>s_1,\cdots,s_4</math>和<math>\kappa_1,\cdots,\kappa_4</math>需要被保留。
通过粗粒化策略的求解，我们可以得到如图f所示的粗粒化参数矩阵<math>W</math>，其保留了<math>x_1,x_2,x_3,x_5</math>四个维度，从图e可看出在使用高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略后得到的粗粒化策略，会比直接截取<math>U</math>或<math>V</math>得到的粗粒化策略更接近理论最大的<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)</math>。
[[文件:离散化布朗运动.png|替代=|935x935像素]]
[[文件:离散化布朗运动.png|替代=|935x935像素]]
</math>
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由此可以得到图b中的生成数据。从图e中可以看出，<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>有两个较大的奇异值，<math>r_\epsilon=2</math>，因为<math>\epsilon=5</math>，正逆向的协方差矩阵如图c和d所示。在模型训练中，当训练周期为50000时，我们得到因果涌现的值为<math>\Delta\Gamma\alpha（\epsilon）=0.8685</math>。
由此可以得到图b中的生成数据。从图e中可以看出，<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>（如图c所示）有两个较大的奇异值，差距比<math>\Sigma^{-1}</math>（如图d所示）更大，<math>r_\epsilon=2</math>，因为<math>\epsilon=5</math>，正逆向的协方差矩阵如图c和d所示。在模型训练中，当训练周期为50000时，我们得到因果涌现的值为<math>\Delta\Gamma\alpha（\epsilon）=0.8685</math>。
[[文件:SIR模型.png|替代=|935x935像素]]
[[文件:SIR模型.png|替代=|935x935像素]]