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→增长模型
此时增长率参数矩阵<math>A</math>和<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>（图e所示）都是满秩矩阵，但是通过观察图f中的奇异值谱，我们只能看到两个较大的逆向动力学奇异值<math>s_1，s_2</math>，此时我们就需要引入模糊因果涌现。我们规定阈值<math>\epsilon=2</math>, 模糊因果涌现可以计算得到<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)=0.4195</math>。
此时增长率参数矩阵<math>A</math>和<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>（图e所示）都是满秩矩阵，但是通过观察图f中的奇异值谱，我们只能看到两个较大的逆向动力学奇异值<math>s_1，s_2</math>，此时我们就需要引入模糊因果涌现。我们规定阈值<math>\epsilon=2</math>, 模糊因果涌现可以计算得到<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)=0.4195</math>。
我们可以直接得到图g和h中的粗粒化策略参数矩阵，可以看到A不满秩的时候，粗粒化策略只保留了前两个维度的信息，而A满秩的时候，粗粒化策略将<math>x_1,x_3</math>信息合并，<math>x_2,x_4</math>信息合并，一次达到降维的效果。
我们可以直接得到图g和h中的粗粒化策略参数矩阵，可以看到A不满秩的时候，粗粒化策略只保留了前两个维度的信息，而A满秩的时候，粗粒化策略将<math>x_1,x_3</math>信息合并，<math>x_2,x_4</math>信息合并，达到降维的效果。如图d所示，其中<math>x_1,...,x_4</math>表示不同维度的增长曲线，可见宏观态近似于于微观态<math>x_1,x_3</math>和<math>x_2,x_4</math>两组变量分别求平均得到的结果。
[[文件:马尔萨斯增长.png|替代=|935x935像素]]
[[文件:马尔萨斯增长.png|替代=|935x935像素]]
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由此可以得到图b中的生成数据。从图e中可以看出，<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>（如图c所示）有两个较大的奇异值，差距比<math>\Sigma^{-1}</math>（如图d所示）更大，<math>r_\epsilon=2</math>，因为<math>\epsilon=5</math>，正逆向的协方差矩阵如图c和d所示。在模型训练中，当训练周期为50000时，我们得到因果涌现的值为<math>\Delta\Gamma\alpha（\epsilon）=0.8685</math>。
由此可以得到图b中的生成数据。从图e中可以看出，<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>（如图c所示）有两个较大的奇异值，差距比<math>\Sigma^{-1}</math>（如图d所示）更大，<math>r_\epsilon=2</math>，因为<math>\epsilon=5</math>，正逆向的协方差矩阵如图c和d所示。在模型训练中，当训练周期为50000时，我们得到因果涌现的值为<math>\Delta\Gamma\alpha（\epsilon）=0.8685</math>。
图f中可以看出，因果涌现<math>\Delta\Gamma_\alpha</math>并不是恒等的，而是会随S、I的不同发生改变，我们得到的结果0.8685是不同状态的<math>\Delta\Gamma_\alpha</math>求均值后得到的结果；观察规定<math>\epsilon=5</math>下的<math>r_\epsilon</math>均值（图g）也可以得到相似的规律，<math>\Delta\Gamma_\alpha</math>较大的地方，有效秩会相等更接近2。
我们可以得到图h中的粗粒化策略参数矩阵，粗粒化策略将<math>x_1,x_3</math>信息合并，<math>x_2,x_4</math>信息合并，达到降维的效果。
[[文件:SIR模型.png|替代=|935x935像素]]
[[文件:SIR模型.png|替代=|935x935像素]]