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→基本性质
===基本性质===
===基本性质===
====历史遗忘性====
在CTMC的定义中，我们描述了已知一个时间点的状态时，以后的过程与以前任意有限个时间点独立；事实上，已知一个时间点的状态时，以后得过程与以前任意时间点都独立。即对于<math>t>0</math>，已知<math>X(t)=i</math>的条件下，将来随机过程<math>\{X(u)|u>t\}</math>与过去随机过程<math>\{X(v)|0\leq v<t\}</math>独立。
====时齐性====
====时齐性====
和离散时间马尔科夫链相同，我们称满足：
<math>\mathbb{P}(X(t+s)=j|X(s)=i)=\mathbb{P}(X(t)=j|X(0)=i),s,t\geq 0</math>
的CTMC具有'''时齐性'''。后面我们讨论的都是具有时齐性的CTMC。
====转移概率与转移概率矩阵====
====转移概率与转移概率矩阵====
由时齐性，我们可知'''转移概率'''与起始时间<math>s</math>无关：
====历史遗忘性====
<math>p_{ij}(t)=\mathbb{P}(X(t+s)=j|X(s)=i)</math>
并且当<math>t=0</math>时，转移概率<math>p_{ij}(0)</math>是<math>\delta</math>函数：
<math>p_{ij}(0)=\delta_{ij}=\begin{cases}
1 &,j=i\in S\\
0 &,i\neq j
\end{cases}
</math>
我们定义CTMC<math>\{X(t)\}</math>的'''转移概率矩阵'''为：
<math>P(t)=\left(p_{ij}(t)\right)_{i,j\in I}</math>
====Chapman-Kolmogorov方程====
====Chapman-Kolmogorov方程====
与离散情况中一样，CTMC中也成立Chapman-Kolmogorov方程：
<math>p_{ij}(t+s)=\sum_{k\in I}p_{ik}(t)p_{kj}(s),\forall t,s\geq 0</math>
或者写成矩阵形式有：
<math>P(t+s)=P(t)P(s)=P(s)P(t)</math>
====决定CTMC的参数====
====决定CTMC的参数====
<math>X(t)</math>的概率分布有转移概率矩阵和<math>X(0)</math>的概率分布
<math>\mathbf{p}(0)=(p_1(0),p_2(0),\dots)</math>
唯一决定：
<math>\mathbf{p}(t)=\mathbf{p}(0)P(t)</math>，
其中<math>\mathbf{p}(t)=(p_1(t),p_2(t),\dots),t\geq 0,p_i(t)=\mathbb{P}(X(t)=i),i\in S </math>。
特别地，当<math>t=na</math>时，有
<math>\mathbf{p}(t)=\mahtbf{p}(t)=\mathbf{p}(t)</math>
====转移速率矩阵====
====转移速率矩阵====