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第441行：
第441行： − − ===连续时间马尔科夫链的基础=== − ====时齐性==== − 与离散时间马尔科夫链相同，若连续马尔科夫链的转移概率<math>P(X(t+s)=j|X(s)=i)</math>与初始时刻<math>s</math>无关，那么称该马尔科夫链是时齐的。简记<math>P(X(t+s)=j|X(s)=i)=P_{ij}(t)</math>，相应地记转移概率矩阵为<math>P(t)</math>。特别的，<math>P(0)=I</math>。 − − − ====C-K方程==== − 与离散时间马尔科夫链相同，连续马尔科夫链也能得到C-K方程： − − <math>P_{ij}(t+s)=\sum_{k\in S}P_{ik}(t)P_{kj}(s),</math> − − 对应的矩阵形式为 − − <math>P(t+s)=P(t)P(s)</math>。 − − − ====Q矩阵及前、后向方程==== − 上式中乘积转化为求和，这会自然地联想到指数函数。由于指数函数具有特殊的求导性质，所以考察转移概率矩阵的变化率 − − <math> − \begin{aligned} − &\frac{1}{\Delta t}\left(P(t+\Delta t)-P(t)\right)\\ − &=\frac{1}{\Delta t}\left(P(t)P(\Delta t)-P(t)\right)\\ − &=P(t)\left(\frac{P(\Delta t)-I}{\Delta t}\right)。 − \end{aligned} − </math> − − 易知，当<math>\Delta t \to 0</math>，有<math>P(\Delta t)\to I</math>。那么，假设 − <math>\lim_{\Delta t\to 0}\frac{P(\Delta t)-I}{\Delta t}</math>存在并记为<math>Q</math>，则 − − <math>\frac{d}{dt}P(t)=P(t)Q</math>， − 称为前向方程。 − − 同理，由于 − − <math> − P(t+\Delta t)=P(\Delta t)P(t), − </math> − − 可得 − − <math>\frac{d}{dt}P(t)=QP(t)</math>， − 称为后向方程。 − − 进一步，由初值条件<math>P(0)=I</math>， − 可得 − − <math>P(t)=\exp(Qt)</math>。 − − − ====Q矩阵的基本性质==== − 首先，分析<math>Q</math>矩阵的对角线元素 − − <math>Q_{ii}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{P_{ii}(\Delta t)-1}{\Delta t}\leq 0</math>， − − 而非对角线元素 − − <math>Q_{ij}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{P_{ij}(\Delta t)}{\Delta t}\geq 0\ \ (i\neq j)</math>。 − − − 进一步，考察有限空间对应的<math>Q</math>矩阵的行和 − − <math>\sum_{j}Q_{ij}=\sum_{j}\lim_{\Delta t \to 0}\frac{P_{ij}(\Delta t)-\delta_{ij}}{\Delta t}= − \lim_{\Delta t \to 0}\frac{1}{\Delta t}\sum_{j}\left(P_{ij}(\Delta t)-\delta_{ij}\right)=0 − </math>， − − 即<math>Q</math>矩阵的行和等于0。 − − − − ====Fokker-Planck方程==== − 在上述基础上，考虑初始分布后，可以得到任意时刻概率分布的微分方程。 − − − 具体来说， − 记<math>X_t(n\geq0)</math>的概率分布 − <math>\pi_t=(\pi_t(1),\pi_t(2),\ldots)</math>， − 其中，<math>\pi_t(i)=P(X_t=i),\ i\in S</math>。 − − 那么，根据前向方程，可得 − − <math>\frac{d}{dt}\pi_t=\frac{d}{dt}\{\pi_0P(t)\}=\pi_0\frac{d}{dt}\{P(t)\}=\pi_0P(t)Q=\pi_t Q</math>， − − 称为Fokker-Planck方程。
→连续时间马尔科夫链的基础
基于<math>\Gamma_{\alpha}</math>，给出了清晰因果涌现和模糊因果涌现程度的计算方法。值得注意的是，它们均与粗粒化方法无关。详细内容参见词条[[基于可逆性的因果涌现理论]]。
基于<math>\Gamma_{\alpha}</math>，给出了清晰因果涌现和模糊因果涌现程度的计算方法。值得注意的是，它们均与粗粒化方法无关。详细内容参见词条[[基于可逆性的因果涌现理论]]。
==连续时间马尔科夫链==
==连续时间马尔科夫链==