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第231行：
第231行： − + − <math>P\mathbf{1}=\begin{bmatrix}+ − p_{11}& p_{12}&\ldots\\ − p_{21}& p_{22}&\ldots\\ − \vdots& \vdots&\ddots\\ − \end{bmatrix}\begin{bmatrix} − 1 \\ − 1\\ − \vdots\\ − \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} − \sum_{j\in S}{p_{1j}}\\ − \sum_{j\in S}{p_{2j}}\\ − \vdots\\ − \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} − 1 \\ − 1\\ − \vdots\\ − \end{bmatrix}=\mathbf{1}.</math> − − 即<math>1</math>是<math>P</math>的特征值，且对应的特征向量为<math>\mathbf{1}</math>。 − 另一方面， 第272行：
第253行： − + − − <math>\lambda x_j=\sum_{i}p_{ji}x_i</math>。 − − 不失一般性，假设<math>|x_j|=\max_{k}|x_i|</math>，有 − − <math>|\lambda|\cdot|x_j|=\Big|\sum_i p_{ji}x_i\Big|\leq\sum_{i}p_{ji}|x_i|\leq\sum_{i}p_{ji}|x_j|=|x_j|</math>。 − − 那么，<math>|\lambda|\leq 1</math>。 − −
→转移概率矩阵的特征值
====转移概率矩阵的特征值====
====转移概率矩阵的特征值====
下面考察<math>P</math>的特征值，由于<math>P</math>的行和为<math>1</math>，那么
下面考察<math>P</math>的特征值，由于<math>P</math>的行和为<math>1</math>，那么，<math>P\mathbf{1}=\mathbf{1}</math>，即<math>1</math>是<math>P</math>的特征值，且对应的特征向量为<math>\mathbf{1}</math>。
另一方面，由于
<math>det(P-\lambda I)=det((P-\lambda I)^{\rm T})=det(P^{\rm T}-\lambda I)</math>。
<math>det(P-\lambda I)=det((P-\lambda I)^{\rm T})=det(P^{\rm T}-\lambda I)</math>。
进一步，设<math>\lambda</math>为<math>P</math>的任一特征值，对应的特征向量为<math>x=(x_1,x_2,\ldots)^{\rm T}</math>。那么，<math>\lambda</math>也是<math>P^{\rm T}</math>的特征值，且<math>\lambda x^{\rm T}=x^{\rm T}P^{\rm T}</math>，展开得
进一步，设<math>\lambda</math>为<math>P</math>的任一特征值，证明可得 <math>|\lambda|\leq 1</math>。
注：上述两条性质对于一般的随机矩阵均成立。
注：上述两条性质对于一般的随机矩阵均成立。
====细致平衡条件====
====细致平衡条件====