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第257行： − + 第251行：
第266行： − − − 进一步，设<math>\lambda</math>为<math>P</math>的任一特征值，证明可得 <math>|\lambda|\leq 1</math>。 − − 注：上述两条性质对于一般的随机矩阵均成立。
→转移概率矩阵的特征值
====转移概率矩阵的特征值====
====转移概率矩阵的特征值====
下面考察<math>P</math>的特征值，由于<math>P</math>的行和为<math>1</math>，那么，<math>P\mathbf{1}=\mathbf{1}</math>，即<math>1</math>是<math>P</math>的特征值，且对应的特征向量为<math>\mathbf{1}</math>。
下面考察<math>P</math>的特征值，回顾之前两个例子中的转移矩阵
<math>
\begin{aligned}
\left(\begin{matrix}0&0.9&0.1\\0.8&0.2&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right),\ \ \ \
\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\right),\\
\end{aligned}
</math>
它们的特征值分别为<math>-0.7544,0.9544,1</math>以及<math>-1,1</math>。
通过观察不难发现两个共同的性质：1）1都是两个转移矩阵的特征值；2）特征值的模长均不超过1，这两条性质对于一般的随机矩阵仍是成立的。下面，简要分析特征值1。
由于<math>P</math>的行和为<math>1</math>，那么，<math>P\mathbf{1}=\mathbf{1}</math>，即<math>1</math>是<math>P</math>的特征值，且对应的特征向量为<math>\mathbf{1}</math>。
另一方面，由于
另一方面，由于
若<math>\pi_0</math>是方程<math>\pi=\pi P</math>的解，那么由递推关系得
若<math>\pi_0</math>是方程<math>\pi=\pi P</math>的解，那么由递推关系，有
<math>\pi_n=\pi_0P^n=\pi_0</math>。
<math>\pi_n=\pi_0P^n=\pi_0</math>。
称<math>\pi_0</math>为平稳分布。
称<math>\pi_0</math>为平稳分布。
====细致平衡条件====
====细致平衡条件====