812
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第745行：
第745行： − 为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为稳态流矩阵，如下所示： − <blockquote> − <math>F_{ij} \equiv \pi_i \cdot P_{ij}, \, \forall i,j \in [1, N], − </math> − </blockquote> − 其中，<math>\pi</math>是P的稳态分布，即满足<math>P\cdot\pi=\pi</math>。 − + + + + − 其中，F'是粗粒化后的平稳流矩阵。在归并的过程中，保持所有矩阵上的流量总量是不变的。+ − 最后，粗粒化后的TPM可直接通过归一化每一行得到：+ − 将N个[math]P'_i[/math]拼在一起就能得到最终的TPM。可以证明，这样的粗粒化方案可以保证让粗粒化操作和时间演化操作具有可交换的性质（证明可以参考<ref name="reversibility"/>）。+ − − −
→权重为平稳分布的平均
假设游走已达到了平稳分布<math>\pi</math>，游走粒子处于不同小节点 <math>j</math> 的概率为<math>\pi_j</math>，所以其下一步游走到其他粒子的概率应为<math>p_{Mj} = \frac{1}{\sum_{j \in M} \pi_j} \sum_{j \in M} \pi_j\ p_{ji}</math>，而留在大节点的概率为<math>p_{MM} = \frac{1}{\sum_{j \in M} \pi_j} \sum_{j \in M} \pi_j \ p_{jj}</math> 。按照权重为平稳分布对若干行进行加权平均，得到的行仍会满足加和为一的条件。
假设游走已达到了平稳分布<math>\pi</math>，游走粒子处于不同小节点 <math>j</math> 的概率为<math>\pi_j</math>，所以其下一步游走到其他粒子的概率应为<math>p_{Mj} = \frac{1}{\sum_{j \in M} \pi_j} \sum_{j \in M} \pi_j\ p_{ji}</math>，而留在大节点的概率为<math>p_{MM} = \frac{1}{\sum_{j \in M} \pi_j} \sum_{j \in M} \pi_j \ p_{jj}</math> 。按照权重为平稳分布对若干行进行加权平均，得到的行仍会满足加和为一的条件。
其次，我们将根据 <math>\Phi</math>和<math>F</math>得到粗粒化后的稳态流矩阵：
为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为稳态流矩阵：<math>F_{ij} \equiv \pi_i \cdot P_{ij}, \, \forall i,j \in [1, N],</math>。其中，<math>\pi</math> 是 <math>P</math> 的稳态分布，即满足<math>\pi P = \pi</math>。
其次，我们将根据 <math>\Phi</math> 和 <math>F</math> 得到粗粒化后的稳态流矩阵：
<blockquote>
<blockquote>
<math>F' = \Phi^T \cdot F \cdot \Phi,
<math>F' = \Phi^T \cdot F \cdot \Phi,
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
其中，<math>F'</math> 是粗粒化后的平稳流矩阵。在归并的过程中，保持所有矩阵上的流量总量是不变的。
最后，粗粒化后的 <math>P'</math> 可直接通过归一化每一行得到：
<blockquote>
<blockquote>
<math>P'_i = F'_i / \sum_{j=1}^{N} (F'_i)_j, \, \forall i \in [1, N].
<math>P'_i = F'_i / \sum_{j=1}^{N} (F'_i)_j, \, \forall i \in [1, N].
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
将 <math>N</math> 个 <math>P'_i</math> 拼在一起就能得到最终的 <math>P'</math> 。可以证明，这样的粗粒化方案可以保证让粗粒化操作和时间演化操作具有可交换的性质（证明可以参考<ref name="reversibility"/>）。
按照该方法进行加和平均，得到的宏观和微观的马尔科夫动力学就会满足一致的条件。虽然该方法直观明了，该方法的问题在于其需要在系统演变到平稳分布前，计算每个 <math>t</math> 时刻的状态分布概率 <math>s_j(t)</math>。在达到平稳分布前直接使用<math>\pi</math>来聚合还是不会满足一致性，所以比较麻烦，而HOM的计算方式则可以解决这个问题。
按照该方法进行加和平均，得到的宏观和微观的马尔科夫动力学就会满足一致的条件。虽然该方法直观明了，该方法的问题在于其需要在系统演变到平稳分布前，计算每个 <math>t</math> 时刻的状态分布概率 <math>s_j(t)</math>。在达到平稳分布前直接使用<math>\pi</math>来聚合还是不会满足一致性，所以比较麻烦，而HOM的计算方式则可以解决这个问题。
===HOM===
===HOM===