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第767行： − ===HOM=== − 在Klein等人的论文<ref name=":19">Klein B, Hoel E. The emergence of informative higher scales in complex networks[J]. Complexity, 2020, 20201-12.</ref>，以及Griebenow 等人<ref name=":Griebenow">Griebenow R, Klein B, Hoel E. Finding the right scale of a network: efficient identification of causal emergence through spectral clustering[J]. arXiv preprint arXiv:190807565, 2019.</ref>的文献中，作者们采用了高阶依赖项建模（[[HOMs]]）<ref name="HOMs">Xu, J., Wickramarathne, T. L., & Chawla, N. V. Representing higher-order dependencies in networks[J]. Science advances, 2016, 2(5), e1600028.</ref>来对网络节点进行聚合。其目的是为了保证分组后的宏观网络与原始的微观网络具有相同的随机游走动力学特性。该方法也可以用于对马尔科夫链状态进行合并。具体方法请参考[[网络归并]]。 − 简而言之，该方法考虑了不同的大节点中小节点的连接模式，包括1. 框中小节点的互相连接；2. 它们共享相同的入流节点；3. 存在环的情况，并针对不同情况提出了对应的计算出流的加权平均方法。按照Klein和Hoel论文<ref name=":19"/>中所述，该方法能够满足他们提出的宏观与微观一致性的定义。+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
→出流的聚合方法：加权平均
计算大节点的入流比较简单，而计算大节点的出流会相对较复杂，需要考虑待聚合节点之间的随机游走和状态分布，来计算流出到每个节点的概率。我们可以把出流的聚合看作是对若干行的线性加权平均。
计算大节点的入流比较简单，而计算大节点的出流会相对较复杂，需要考虑待聚合节点之间的随机游走和状态分布，来计算流出到每个节点的概率。我们可以把出流的聚合看作是对若干行的线性加权平均。
===权重一致的平均===
===权重一致的平均===
按照该方法进行加和平均，得到的宏观和微观的马尔科夫动力学就会满足一致的条件。虽然该方法直观明了，该方法的问题在于其需要在系统演变到平稳分布前，计算每个 <math>t</math> 时刻的状态分布概率 <math>s_j(t)</math>。在达到平稳分布前直接使用<math>\pi</math>来聚合还是不会满足一致性，所以比较麻烦，而HOM的计算方式则可以解决这个问题。
按照该方法进行加和平均，得到的宏观和微观的马尔科夫动力学就会满足一致的条件。虽然该方法直观明了，该方法的问题在于其需要在系统演变到平稳分布前，计算每个 <math>t</math> 时刻的状态分布概率 <math>s_j(t)</math>。在达到平稳分布前直接使用<math>\pi</math>来聚合还是不会满足一致性，所以比较麻烦，而HOM的计算方式则可以解决这个问题。
===Higher-Order Macronodes (HOM)===
在Klein等人的论文<ref name=":19">Klein B, Hoel E. The emergence of informative higher scales in complex networks[J]. Complexity, 2020, 20201-12.</ref>，以及Griebenow 等人<ref name=":Griebenow">Griebenow R, Klein B, Hoel E. Finding the right scale of a network: efficient identification of causal emergence through spectral clustering[J]. arXiv preprint arXiv:190807565, 2019.</ref>的文献中，作者们采用了高阶依赖项建模（[[HOMs]]）<ref name="HOMs">Xu, J., Wickramarathne, T. L., & Chawla, N. V. Representing higher-order dependencies in networks[J]. Science advances, 2016, 2(5), e1600028.</ref>来对网络节点进行聚合。其目的是为了保证分组后的宏观网络与原始的微观网络具有相同的随机游走动力学特性。该方法也可以用于对马尔科夫链状态进行合并。
我们简单介绍[[网络归并]]中构建宏观HOM转移概率矩阵的计算方法。具体方法请参考[[网络归并]]。
在图中，我们将节点3和4视为待合并的节点<math>A</math>。
# 计算合并节点的入流：对于其他节点到待合并节点<math>A</math>的连边（图（6）中绿色的连边），直接加和即可。例如，<math>p_{s_1 \rightarrow A} = 0.3+0.1=0.4</math>，<math>p_{ s_2 \rightarrow A} = 0.2+0.3=0.5</math>
# 计算合并节点的出流：对于待合并节点<math>A</math>到其他节点的连边（图（6）中棕色的连边），需要考虑三种情况：
## 当待合并节点<math>A</math>间存在连边时；
## 当待合并节点<math>A</math>指向同一个输出节点时；
## 当待合并节点<math>A</math>指向不同输出节点时；
# 待合并节点<math>A</math>的出流的计算方式都不一样，如图（7）所示：
[[文件:HOM示例.png|缩略图|图7：HOM节点边权合并示意图|替代=|500像素|无]]
<br/>
=不同粗粒化方法之间的异同=
=不同粗粒化方法之间的异同=