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无编辑摘要
=不同粗粒化方法之间的异同=
====动力学可逆性 v.s. 成块性====
成块的马尔科夫矩阵可以被重新排列成几块，这种lumpable的矩阵的动力学可逆性也会很高，在这种情况下动力学可逆性和 Lumpability是一致的。
在没有明显block结构的情况下，我们可以使用上述的SVD+kMeans方式找到最优的lumpability partition并决定它的lumpability。我们在一个动力学可逆性比较高（有明显的因果涌现）的国际贸易网的例子上进行尝试，却发现该网络上的最优lumpability partition宏观结果的动力学可逆性并不高。这现象说明：
#Lumpability最优的partition不等于可逆性最优的partition。
#Lumpability的分组数量是基于马尔科夫秩的，而可逆性的分组数量是对奇异值谱的截断位置。
（未完待续）
===高阶网络聚类 Higher-order Macronodes v.s. 成块性===
Higher-order Macronodes，是由Jian Xu等人<ref name=":3">J. Xu, T. L. Wickramarathne, and N. V. Chawla， 'Representing higher-order dependencies in networks,' Science Advances, vol. 2, Article ID el600028, 2016.a</ref>提出，根据给定的微观马尔科夫链和节点划分方案，得出一个和微观转移矩阵保持一致的宏观转移矩阵的方法，详情请参考[[复杂网络中的因果涌现]]。
我们通过一个简单的成块划分例子来展示，成块性的粗粒化与HOM是如何对应的。该例子的状态转移图如下图所示：
[[文件:Lumpability例子示意图.png|图6：例子示意图|300像素]]
与之相应的状态转移概率矩阵为：
<math>
\begin{aligned}
P = P_{s_i \rightarrow s_j} = \left [
\begin{array}{c:c:cc:c:c}
0 & 0 & 0.3 & 0.1 & 0.6 & 0\\
\hdashline
0 & 0 & 0.2 & 0.3 & 0 & 0.5\\
\hdashline
0 & 0 & 0 & 0.7 & 0.2 & 0.1\\
0 & 0 & 0.7 & 0 & 0.2 & 0.1\\
\hdashline
1.0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\hdashline
0 & 1.0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right ]
\end{aligned}
</math>
对于这个转移概率矩阵，<math>\{1, 2, \{34\}, 5, 6\}</math>是一个成块的划分。
首先，我们先按照成块性的粗粒化定义，计算对应的宏观转移概率：
<math>
\begin{aligned}
\left [
\begin{array}{c:c:c:c:c}
0 & 0 & 0.4 & 0.6 & 0\\
\hdashline
0 & 0 & 0.5 & 0 & 0.5\\
\hdashline
0 & 0 & 0.7 & 0.2 & 0.1\\
\hdashline
1.0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\hdashline
0 & 1.0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right ]
\end{aligned}
</math>
然后，我们简单介绍[[网络归并]]中构建宏观HOM转移概率矩阵的计算方法。
在图（6）中，我们将节点3和4视为待合并的节点<math>A</math>。
1. 计算合并节点的入流：对于其他节点到待合并节点<math>A</math>的连边（图（6）中绿色的连边），直接加和即可。例如，<math>p_{s_1 \rightarrow A} = 0.3+0.1=0.4</math>，<math>p_{ s_2 \rightarrow A} = 0.2+0.3=0.5</math>
2. 计算合并节点的出流：对于待合并节点<math>A</math>到其他节点的连边（图（6）中棕色的连边），需要考虑三种情况：
#当待合并节点<math>A</math>间存在连边时；
#当待合并节点<math>A</math>指向同一个输出节点时；
#当待合并节点<math>A</math>指向不同输出节点时；
待合并节点<math>A</math>的出流的计算方式都不一样，如图（7）所示：
[[文件:HOM示例.png|缩略图|图7：HOM节点边权合并示意图|替代=|500像素|无]]
'''然而'''，我们注意到，这三种计算方式本质上都是对待合并节点<math>A</math>中各节点的出流<math>W_i^{out}</math>的加权求和。而成块性的特性决定了，群组里的各节点到其他群组的出流<math>W_i^{out}</math>都是一样的。所以，对相同的<math>W_i^{out}</math>进行任意加权平均的结果仍然是<math>W_i^{out}</math>。这意味着，无论根据哪种情况采用哪种加权方法，对于成块划分来说，最终的结果都是一致的，且与成块性的粗粒化结果相同。
由此，我们总结，'''成块性的聚合方式和HOM的计算方式，无论入流还是出流都完全一致。'''