更改

当我们在研究多尺度系统时，在弄清尺度间是如何互相影响之前，我们可以先研究一个更简单的问题：我们如何能判断两个尺度之间的动力学是不是独立计算和演化的。

当我们在研究多尺度系统时，在弄清尺度间是如何互相影响之前，我们可以先研究一个更简单的问题：我们如何能判断两个尺度之间的动力学是不是独立计算和演化的。

这个问题由来已久，Anil Seth在他的动力学解耦<ref name=":23"> Barnett, L., & Seth, A. K. (2023). Dynamical independence: discovering emergent macroscopic processes in complex dynamical systems. Physical Review E, 108(1), 014304</ref>的文章中认为，在一个复杂系统中，比如一个动物，当宏观动力学（肢体的活动）能够自主演化，不需要微观动力学（细胞的活动）来提供预测信息的时候，我们就认为存在涌现。

这个问题由来已久，Anil Seth在他的动力学解耦<ref name=":23"> Barnett, L., & Seth, A. K. (2023). Dynamical independence: discovering emergent macroscopic processes in complex dynamical systems. Physical Review E, 108(1), 014304</ref>文章中认为，在一个复杂系统中，比如一个动物的身体，当宏观动力学（肢体的活动）能够自主演化，不需要回到微观动力学（细胞的活动）去提供预测信息的时候，我们就认为存在涌现。

所以，这篇文章<ref name="closure">Rosas, F. E., Geiger, B. C., Luppi, A. I., Seth, A. K., Polani, D., Gastpar, M., & Mediano, P. A. (2024). Software in the natural world: A computational approach to hierarchical emergence. arXiv preprint arXiv:2402.09090.</ref>研究了三种闭合方式：因果闭合、信息闭合和计算闭合，作为尺度间是否独立演化的指标。这里的闭合是指两个尺度之间的闭合。当达到闭合时，即代表两个尺度达到了某种程度上的‘计算独立’。

所以，这篇文章<ref name="closure">Rosas, F. E., Geiger, B. C., Luppi, A. I., Seth, A. K., Polani, D., Gastpar, M., & Mediano, P. A. (2024). Software in the natural world: A computational approach to hierarchical emergence. arXiv preprint arXiv:2402.09090.</ref>研究了三种闭合方式：因果闭合、信息闭合和计算闭合，作为尺度间是否独立演化的指标。这里的闭合是指两个尺度之间的闭合。当达到闭合时，即代表两个尺度达到了某种程度上的‘独立演化’。

====软件和硬件====

====软件和硬件====

在这篇文章中，作者们使用‘软件’和‘硬件’来类比系统。比如说，当我们使用一台电脑计算“1+2”的时候，我们知道这台电脑会得出“3”的结果。这是因为我们知道软件的输入是“1+2”，而不会去想，把“1+2”翻译成一条二进制的机器码，交给软件的底层代码进行操作，得到“3”的机器码再翻译回来；更不会去想，计算机的硬件，比如CPU里各个组成中的晶片经过了什么样的变化来处理这条指令的。

作者们使用‘软件’和‘硬件’来类比系统。比如说，当我们使用一台电脑计算“1+2”的时候，我们知道这台电脑会得出“3”的结果。这是因为我们知道软件的输入是“1+2”，而不会这样想：把“1+2”翻译成一条二进制的机器码，交给软件的底层代码进行操作，得到“3”的机器码再翻译回来；更不会去想，计算机的硬件，比如CPU里各个组成中的晶片经过了什么样的变化来处理这条指令的。

所以，‘软件’代表了某个宏观尺度，‘硬件’代表了某个微观尺度。虽然‘软件’需要依托在‘硬件’之上运行，但是当我们去理解‘软件’的运行规律的时候，却不需要回到‘硬件’层面上来解释。这就是‘软件’和‘硬件’之间的计算独立性：‘软件’（对‘硬件’）闭合了。

所以，‘软件’代表了某个宏观尺度，‘硬件’代表了某个微观尺度。虽然‘软件’需要依托在‘硬件’之上运行，但是当我们去理解‘软件’的运行规律的时候，却不需要回到‘硬件’层面上来解释。这就是‘软件’和‘硬件’之间的计算独立性：‘软件’（对‘硬件’）闭合了。

因果态是计算力学中的一个概念。它的意思是说，当我们在一个时序系统中，我们想要有一个ϵ-machine（ϵ-机器），能够根据当前时间步的状态和历史记忆，来预测未来状态。

因果态是计算力学中的一个概念。它的意思是说，当我们在一个时序系统中，我们想要有一个ϵ-machine（ϵ-机器），能够根据当前时间步的状态和历史记忆，来预测未来状态。

无论系统是确定的或概率生成的，当我们已知t时刻的状态和历史记忆时，我们能够预测未来状态的轨迹 <math>p(\overrightarrow{X_t}| \overleftarrow{X_t}) </math>。而不同时刻，t和t'的状态和历史记忆虽然不完全一样，但是他们可能会导致同样的未来状态，<math>p(\overrightarrow{X_t}| \overleftarrow{X_t}) = p(\overrightarrow{X_t'}| \overleftarrow{X_t'}) </math>。所以，计算力学中把这些具有相同未来的t时刻划为等价euqivalent的状态，即

无论系统是确定的或概率生成的，当我们已知t时刻的状态和历史记忆 <math>\overleftarrow{X_t}=\{... , X_{t-2}, X_{t-1}, X_t\}</math> 时，我们能够预测未来状态的轨迹 <math>p(\overrightarrow{X_t}| \overleftarrow{X_t})</math>，其中<math>\overrightarrow{X}^L_t=\{X_{t+1}, X_{t+2}, ... , X_{t+L}\}</math>，简写成<math>\overrightarrow{X_t}</math>。

<math>\overleftarrow{x_t} \equiv \overleftarrow{x_t'}\ \ \text{iff}\ \ p(\overrightarrow{x_t}| \overleftarrow{x_t} ) = p(\overrightarrow{x_t'}|\overleftarrow{x_t'}) </math>

 

<math>\overleftarrow{x_t} \equiv \overleftarrow{x_{t'}}\ \ \text{iff}\ \ p(\overrightarrow{x_t}| \overleftarrow{x_t} ) = p(\overrightarrow{x_t'}|\overleftarrow{x_t'}) </math>

并定义因果态，

并定义因果态，