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<math>P(t)=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{k!}(Qt)^k=e^{Qt},t\geq 0</math>

<math>P(t)=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{k!}(Qt)^k=e^{Qt},t\geq 0</math>

====具体例子====

====具体例子1: 排队问题====

我们可以用CTMC来描述超市收银台的顾客数。假设超市中只有一个收银台，顾客随机到达收银台并排队结账。顾客到达人数程服从泊松过程，平均到达速率为<math>\lambda</math>；而服务时间服从指数分布，平均服务速率为<math>\mu</math>，状态空间为收银台前的顾客数目，此时我们有转移速率矩阵<math>Q</math>:

我们可以用CTMC来描述超市收银台的顾客数。假设超市中只有一个收银台，顾客随机到达收银台并排队结账。顾客到达人数程服从泊松过程，平均到达速率为<math>\lambda</math>；而服务时间服从指数分布，平均服务速率为<math>\mu</math>，状态空间为收银台前的顾客数目，此时我们有转移速率矩阵<math>Q</math>:

可以看到用<math>Q</math>来描述连续时间马尔科夫链很直接，而试图用<math>P(t)</math>描述连续时间马尔科夫链的话，对每一个t都要计算一次矩阵指数。<math>P(1)</math>第3行<math>[0, 0, 1]</math>，表示一旦进入第三个状态，将永远停留，这也可以直接从<math>Q</math>中直接读出来。<math>Q</math>还能很方便地描述<math>P(t)</math>中无法直接描述的比例成块性，详见[[马尔科夫链的成块性]]。

可以看到用<math>Q</math>来描述连续时间马尔科夫链很直接，而试图用<math>P(t)</math>描述连续时间马尔科夫链的话，对每一个t都要计算一次矩阵指数。<math>P(1)</math>第3行<math>[0, 0, 1]</math>，表示一旦进入第三个状态，将永远停留，这也可以直接从<math>Q</math>中直接读出来。<math>Q</math>还能很方便地描述<math>P(t)</math>中无法直接描述的比例成块性，详见[[马尔科夫链的成块性]]。

 

在系统生物学中，基因调控网络（Gene Regulatory Network, GRN）描述了基因、蛋白质和其他分子之间复杂的相互作用，共同控制基因的表达水平。为了定量分析这类网络的动态行为，特别是涉及随机性的情况（如基因表达的噪声），常用CTMC作为数学建模的框架。考虑一个简化的两节点基因调控网络模型，包含以下两个组件。基因A​​：具有自发激活（Spontaneous Activation）和基础失活（Basal Inactivation）的能力。当基因A处于激活状态时，它能促进转录调节子R（Transcriptional Regulator R）的表达或激活。调节子R ：具有基础失活（Basal Inactivation）的能力。当调节子R处于激活状态时，它会抑制基因A的表达。这个网络形成了一个负反馈回路​：A激活R，而R抑制A。

在系统生物学中，基因调控网络（Gene Regulatory Network, GRN）描述了基因、蛋白质和其他分子之间复杂的相互作用，共同控制基因的表达水平。为了定量分析这类网络的动态行为，特别是涉及随机性的情况（如基因表达的噪声），常用CTMC作为数学建模的框架。考虑一个简化的两节点基因调控网络模型，包含以下两个组件。基因A​​：具有自发激活（Spontaneous Activation）和基础失活（Basal Inactivation）的能力。当基因A处于激活状态时，它能促进转录调节子R（Transcriptional Regulator R）的表达或激活。调节子R ：具有基础失活（Basal Inactivation）的能力。当调节子R处于激活状态时，它会抑制基因A的表达。这个网络形成了一个负反馈回路​：A激活R，而R抑制A。

[[文件:基因调控网络.png|缩略图|居中|两节点基因调控网络]]

[[文件:基因调控网络.png|缩略图|居中|两节点基因调控网络]]