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→数学表示
* [math]\displaystyle{ |C_0| }[/math] 表示包含原点（或任意参考点）的连通分量大小
* [math]\displaystyle{ |C_0| }[/math] 表示包含原点（或任意参考点）的连通分量大小
* [math]\displaystyle{ \infty }[/math] 表示无限大
* [math]\displaystyle{ \infty }[/math] 表示无限大
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=== 数学表示 ===
=== 数学表示 ===
[math]\displaystyle{ p_c = \sup \Big\{ p \in [0,1] : \mathbb{P}_p(|C_0| < \infty) = 1 \Big\} }[/math]
[math]\displaystyle{ p_c = \sup \Big\{ p \in [0,1] : \mathbb{P}_p(|C_0| < \infty) = 1 \Big\} }[/math]
==== 晶格模型解析解 ====
==== 晶格模型解析解 ====
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|[math]\displaystyle{ p_c \approx 0.178 }[/math]
|[math]\displaystyle{ p_c \approx 0.178 }[/math]
|}
|}
==== 临界指数体系 ====
==== 临界指数体系 ====
在 [math]\displaystyle{ p_c }[/math] 附近系统行为满足标度律：
在 [math]\displaystyle{ p_c }[/math] 附近系统行为满足标度律：
|3
|3
|}
|}
==== 高维数值解 ====
==== 高维数值解 ====
d 维立方格精确值：
d 维立方格精确值：
|[math]\displaystyle{ p_c \sim \frac{1}{2d-1} }[/math]
|[math]\displaystyle{ p_c \sim \frac{1}{2d-1} }[/math]
|}
|}
==== 网络科学中的推广 ====
==== 网络科学中的推广 ====
无标度网络阈值：
无标度网络阈值：
（[math]\displaystyle{ m }[/math] 为耦合网络层数）
（[math]\displaystyle{ m }[/math] 为耦合网络层数）
==== 连续渗流模型 ====
==== 连续渗流模型 ====
体积分数阈值：
体积分数阈值：
* 随机球堆：[math]\displaystyle{ \phi_c \approx 0.289 }[/math]
* 随机球堆：[math]\displaystyle{ \phi_c \approx 0.289 }[/math]
* 重叠球模型：[math]\displaystyle{ \phi_c \approx 0.31 }[/math]
* 重叠球模型：[math]\displaystyle{ \phi_c \approx 0.31 }[/math]
==== 有限尺寸标度律 ====
==== 有限尺寸标度律 ====
其中 [math]\displaystyle{ a }[/math] 为常数，[math]\displaystyle{ \nu }[/math] 为关联长度指数
其中 [math]\displaystyle{ a }[/math] 为常数，[math]\displaystyle{ \nu }[/math] 为关联长度指数
==== 量子渗流表示 ====
==== 量子渗流表示 ====
安德森哈密顿量：
安德森哈密顿量：
（[math]\displaystyle{ W }[/math] 为无序强度，[math]\displaystyle{ \kappa \approx 1.5 }[/math]）
（[math]\displaystyle{ W }[/math] 为无序强度，[math]\displaystyle{ \kappa \approx 1.5 }[/math]）
==== 微分几何表示 ====
==== 微分几何表示 ====
曲率依赖阈值（双曲空间）：
曲率依赖阈值（双曲空间）：
其中 [math]\displaystyle{ K }[/math] 为高斯曲率
其中 [math]\displaystyle{ K }[/math] 为高斯曲率
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=== 临界现象与普适类 ===
=== 临界现象与普适类 ===
渗流阈值是二阶连续相变的典型代表，其临界行为满足标度律：
渗流阈值是二阶连续相变的典型代表，其临界行为满足标度律：
|[math]\displaystyle{ \sigma \propto (p - p_c)^\mu }[/math]
|[math]\displaystyle{ \sigma \propto (p - p_c)^\mu }[/math]
|}
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=== 理论深化 ===
=== 理论深化 ===
* 量子渗流：哈密顿量 [math]\displaystyle{ \hat{H} = -t\sum_{\langle ij\rangle} (c_i^\dagger c_j + h.c.) + \sum_i \epsilon_i c_i^\dagger c_i }[/math] 迁移率边 [math]\displaystyle{ E_c }[/math] 对应能量空间渗流阈值
* 量子渗流：哈密顿量 [math]\displaystyle{ \hat{H} = -t\sum_{\langle ij\rangle} (c_i^\dagger c_j + h.c.) + \sum_i \epsilon_i c_i^\dagger c_i }[/math] 迁移率边 [math]\displaystyle{ E_c }[/math] 对应能量空间渗流阈值
* 多层网络耦合：[math]\displaystyle{ p_c^{(m)} = 1 - \left(1-p_c^{(1)}\right)^{1/m} }[/math]
* 多层网络耦合：[math]\displaystyle{ p_c^{(m)} = 1 - \left(1-p_c^{(1)}\right)^{1/m} }[/math]
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=== 计算方法 ===
=== 计算方法 ===
* <nowiki>三维FCC晶格：[math]\displaystyle{ p_c^{\text{bond}} = 0.119330(5) }[/math]</nowiki>
* <nowiki>三维FCC晶格：[math]\displaystyle{ p_c^{\text{bond}} = 0.119330(5) }[/math]</nowiki>
* <nowiki>四维超立方体：[math]\displaystyle{ p_c^{\text{site}} = 0.196889(3) }[/math]</nowiki>
* <nowiki>四维超立方体：[math]\displaystyle{ p_c^{\text{site}} = 0.196889(3) }[/math]</nowiki>
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=== 数学模型扩展 ===
=== 数学模型扩展 ===
#* 无标度网络（度分布 [math]\displaystyle{ P(k)\sim k^{-\gamma} }[/math]）： [math]\displaystyle{ p_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle} }[/math] 当 [math]\displaystyle{ \gamma \leq 3 }[/math] 时 [math]\displaystyle{ p_c \to 0 }[/math]，解释社交网络的强鲁棒性。
#* 无标度网络（度分布 [math]\displaystyle{ P(k)\sim k^{-\gamma} }[/math]）： [math]\displaystyle{ p_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle} }[/math] 当 [math]\displaystyle{ \gamma \leq 3 }[/math] 时 [math]\displaystyle{ p_c \to 0 }[/math]，解释社交网络的强鲁棒性。
# 多层网络耦合失效 [math]\displaystyle{ p_c^{(m)} = 1 - \left(1-p_c^{(1)}\right)^{1/m} }[/math] （[math]\displaystyle{ m }[/math] 为耦合网络层数）
# 多层网络耦合失效 [math]\displaystyle{ p_c^{(m)} = 1 - \left(1-p_c^{(1)}\right)^{1/m} }[/math] （[math]\displaystyle{ m }[/math] 为耦合网络层数）
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=== 实验验证 ===
=== 实验验证 ===
|Cell 2018
|Cell 2018
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=== 渗流阈值发展史 ===
=== 渗流阈值发展史 ===
|<nowiki>[math]\displaystyle{ p_c^{\text{cosmic}} = 0.68 }[/math]</nowiki>
|<nowiki>[math]\displaystyle{ p_c^{\text{cosmic}} = 0.68 }[/math]</nowiki>
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=== 开放问题 ===
=== 开放问题 ===
# 量子临界点：安德森局域化的[math]\displaystyle{ E_c }[/math]是否等价于渗流阈值？
# 量子临界点：安德森局域化的[math]\displaystyle{ E_c }[/math]是否等价于渗流阈值？
# 动态阈值：时变网络中的[math]\displaystyle{ p_c(t) }[/math]如何定义？
# 动态阈值：时变网络中的[math]\displaystyle{ p_c(t) }[/math]如何定义？
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=== 应用领域 ===
=== 应用领域 ===
人工智能：神经网络剪枝中，当权重保留率 [math]\displaystyle{ p < p_c }[/math] 时，性能发生断崖式下降（2020年 Nature 研究）。
人工智能：神经网络剪枝中，当权重保留率 [math]\displaystyle{ p < p_c }[/math] 时，性能发生断崖式下降（2020年 Nature 研究）。
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=== 前沿应用 ===
=== 前沿应用 ===
|火势失控概率↑80% (k=0.5, T₀=30℃)
|火势失控概率↑80% (k=0.5, T₀=30℃)
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=== 典型例子 ===
=== 典型例子 ===
* 导电路径形成：电子材料中，渗流阈值[math]\displaystyle{ p_c }[/math]对应电子通道首次贯通体系的浓度。
* 导电路径形成：电子材料中，渗流阈值[math]\displaystyle{ p_c }[/math]对应电子通道首次贯通体系的浓度。
* 网络连通性：在复杂网络中，若随机移除一定比例的节点，当保留节点的比例低于阈值[math]\displaystyle{ p_c }[/math]时，整个网络失去主连通分量。
* 网络连通性：在复杂网络中，若随机移除一定比例的节点，当保留节点的比例低于阈值[math]\displaystyle{ p_c }[/math]时，整个网络失去主连通分量。
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'''实例数据（d维立方格）'''
=== '''实例数据（d维立方格）''' ===
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|'''d'''
|'''d'''
随着维度增加，阈值逐渐降低，表明高维系统更容易形成贯通集群。
随着维度增加，阈值逐渐降低，表明高维系统更容易形成贯通集群。
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=== '''参考资料''' ===
=== '''参考资料''' ===