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真实世界复杂网络缺乏基本格点结构，催生了多样化的粗粒化方案。

真实世界复杂网络缺乏基本格点结构，催生了多样化的粗粒化方案。

### 基于最短路的方法

=== 基于最短路的方法 ===

基于最短路长度定义节点间距，借助分形几何的盒覆盖思想[17,18]实现迭代重整化群变换。该方法以最短路距离为度量，将指定距离内的节点聚合成粗粒化节点，生成重整化群序列[14]，可揭示网络的自相似性与分形特征[14,19–21]，并用于新生长机制[22]和网络普适类分类[5,23]。但受小世界特性限制，该方法难以有效解耦和揭示标度行为，度分布自相似性不伴随关联函数标度律，尤其在网络集聚方面。

基于最短路长度定义节点间距，借助分形几何的盒覆盖思想[17,18]实现迭代重整化群变换。该方法以最短路距离为度量，将指定距离内的节点聚合成粗粒化节点，生成重整化群序列[14]，可揭示网络的自相似性与分形特征[14,19–21]，并用于新生长机制[22]和网络普适类分类[5,23]。但受小世界特性限制，该方法难以有效解耦和揭示标度行为，度分布自相似性不伴随关联函数标度律，尤其在网络集聚方面。

研究者还提出在规则格点网络添加长程连接实现实空间重整化群变换，用于研究Watts-Strogatz模型临界点行为[24]和格点无标度网络模型[25]，但需预知节点坐标或区分短程与长程连接，而真实网络中此类信息常未知。

研究者还提出在规则格点网络添加长程连接实现实空间重整化群变换，用于研究Watts-Strogatz模型临界点行为[24]和格点无标度网络模型[25]，但需预知节点坐标或区分短程与长程连接，而真实网络中此类信息常未知。

### 谱方法

=== 谱方法 ===

基于网络谱性质的方法通过保持特定过程动力学行为进行粗粒化。谱粗粒化最初用于研究网络随机游走，保留随机矩阵最大特征值及对应特征向量以保持大尺度行为，剔除快模态同时保留慢模态[26]，已推广至二部网络[27]和耦合振子同步动力学研究[28–30]，也用于有向网络同步[31]和可控性分析[32]。

基于网络谱性质的方法通过保持特定过程动力学行为进行粗粒化。谱粗粒化最初用于研究网络随机游走，保留随机矩阵最大特征值及对应特征向量以保持大尺度行为，剔除快模态同时保留慢模态[26]，已推广至二部网络[27]和耦合振子同步动力学研究[28–30]，也用于有向网络同步[31]和可控性分析[32]。

利用图拉普拉斯矩阵的特征向量与特征值，研究者探索了场论重整化群方法处理有序-无序现象的可能性[33,34]，为建立基于拉普拉斯谱的图重整化理论框架[35]奠定基础，后文将详细讨论。

利用图拉普拉斯矩阵的特征向量与特征值，研究者探索了场论重整化群方法处理有序-无序现象的可能性[33,34]，为建立基于拉普拉斯谱的图重整化理论框架[35]奠定基础，后文将详细讨论。

### 拓扑方法

=== 拓扑方法 ===

基于拓扑性质的粗粒化方法包括节点中心性度量（如度[36]和广义度[37]）、基于邻居重叠的节点相似性度量[38]，以及网络模体分析[41]等。

基于拓扑性质的粗粒化方法包括节点中心性度量（如度[36]和广义度[37]）、基于邻居重叠的节点相似性度量[38]，以及网络模体分析[41]等。

此外，基于多尺度社区检测中模块化概念的策略[44]，类似于计算机科学中的多层图划分算法，包含基于节点或边属性的粗粒化启发式方法，如重边启发式算法[45]和基于社区的粗粒化方案[46]。拓扑方法依赖特定结构模式，如层级社区或结构等价节点，特征缺失时会失效。

此外，基于多尺度社区检测中模块化概念的策略[44]，类似于计算机科学中的多层图划分算法，包含基于节点或边属性的粗粒化启发式方法，如重边启发式算法[45]和基于社区的粗粒化方案[46]。拓扑方法依赖特定结构模式，如层级社区或结构等价节点，特征缺失时会失效。

### 对称方法

=== 对称方法 ===

利用对称性定义的等价类构造粗粒化方案，在生物科学到计算机科学研究中，表征网络动态过程局部对称性的方法为刻画系统基本模块提供普适原则[47]。网络在节点变换下保持输入树不变时涌现均衡划分[48]，用于定义常微分方程的成块性[49,50]、布尔后向等价[51]和纤维染色性质[52]等概念。

利用对称性定义的等价类构造粗粒化方案，在生物科学到计算机科学研究中，表征网络动态过程局部对称性的方法为刻画系统基本模块提供普适原则[47]。网络在节点变换下保持输入树不变时涌现均衡划分[48]，用于定义常微分方程的成块性[49,50]、布尔后向等价[51]和纤维染色性质[52]等概念。

对称性诱导的均衡划分可将系统约化为保留整体动力学与同步特性的动力学变量集合[53]，但通常仅能确定单一划分，无法迭代应用且在对称性缺失体系中缺乏普适性。

对称性诱导的均衡划分可将系统约化为保留整体动力学与同步特性的动力学变量集合[53]，但通常仅能确定单一划分，无法迭代应用且在对称性缺失体系中缺乏普适性。

### 工程技术和计算机科学中的粗粒化

=== 工程技术和计算机科学中的粗粒化 ===

开发互联网及其他通信与交通网络的缩尺工程模型是通信技术领域的长期目标[54–56]。近年来，图嵌入技术和图神经网络等深度学习工具用于图结构数据压缩，粗粒化方案旨在降低计算成本与复杂度[57–63]，在设计高效通信与数据存储纠错编码中具有价值[64]。这些方法受网络重整化思想驱动，但聚焦特定过程，对图结构数据与复杂系统多尺度本质的底层原理揭示有限。

开发互联网及其他通信与交通网络的缩尺工程模型是通信技术领域的长期目标[54–56]。近年来，图嵌入技术和图神经网络等深度学习工具用于图结构数据压缩，粗粒化方案旨在降低计算成本与复杂度[57–63]，在设计高效通信与数据存储纠错编码中具有价值[64]。这些方法受网络重整化思想驱动，但聚焦特定过程，对图结构数据与复杂系统多尺度本质的底层原理揭示有限。

### 信息论方法

=== 信息论方法 ===

信息论方法探索网络不同尺度间的相互作用。复杂网络中更大尺度通常提供更丰富的连接结构信息，即因果涌现现象[65]，可降低节点间关系观测的不确定性。针对图上动力学过程，信息论方法有助于评估状态空间划分对约化后动力学行为的影响[66]。

信息论方法探索网络不同尺度间的相互作用。复杂网络中更大尺度通常提供更丰富的连接结构信息，即因果涌现现象[65]，可降低节点间关系观测的不确定性。针对图上动力学过程，信息论方法有助于评估状态空间划分对约化后动力学行为的影响[66]。

### 重整化群方法的基本原理

=== 重整化群方法的基本原理 ===

真实世界网络异质性可能导致不同方法结果矛盾，解决这一问题需基于第一性原理建立普适框架。构建框架需重新审视规则格点和均匀度量系统上的重整化方案，注意前述挑战。

真实世界网络异质性可能导致不同方法结果矛盾，解决这一问题需基于第一性原理建立普适框架。构建框架需重新审视规则格点和均匀度量系统上的重整化方案，注意前述挑战。