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真实世界网络异质性可能导致不同方法结果矛盾，解决这一问题需基于第一性原理建立普适框架。构建框架需重新审视规则格点和均匀度量系统上的重整化方案，注意前述挑战。

真实世界网络异质性可能导致不同方法结果矛盾，解决这一问题需基于第一性原理建立普适框架。构建框架需重新审视规则格点和均匀度量系统上的重整化方案，注意前述挑战。

粗粒化变量定义中，引入<math>N_\ell \times N_\ell邻接矩阵A^{(\ell)}表示给定分辨率尺度的网络，[math]\ell=0[\math]为最精细层级，[math]\ell>0[\math]为粗粒化迭代层级。加权网络需权重矩阵[math]W^{(\ell)}[\math]。

粗粒化变量定义中，引入<math>N_\ell \times N_\ell</math>邻接矩阵A^{(\ell)}表示给定分辨率尺度的网络，\ell=0为最精细层级，\ell>0为粗粒化迭代层级。加权网络需权重矩阵W^{(\ell)}。

实空间重整化通过“块节点”定义粗粒化变量，对应划分[math]\Omega_\ell[\math]，将[math]\ell[\math]层级节点映射到[math]\ell+1[\math]层级的粗粒化节点。k空间重整化则需推广对偶空间定义，通过邻接矩阵的显式算符表示分解为基本模态。

实空间重整化通过“块节点”定义粗粒化变量，对应划分\Omega_\ell，将\ell层级节点映射到\ell+1层级的粗粒化节点。k空间重整化则需推广对偶空间定义，通过邻接矩阵的显式算符表示分解为基本模态。

实空间中对精细细节的积分消去定义从[math]A^{(\ell)}[\math]到[math]A^{(\ell+1)}[\math]的满射，粗粒化矩阵元素仅依赖细粒度矩阵中包含于粗粒化节点的微观节点元，如：

实空间中对精细细节的积分消去定义从A^{(\ell)}到A^{(\ell+1)}的满射，粗粒化矩阵元素仅依赖细粒度矩阵中包含于粗粒化节点的微观节点元，如：

<math>

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A_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}^{(\ell+1)} = \mathcal F\left( \left\{ A_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)} \right\}_{i_\ell \in i_{\ell+1}, j_\ell \in j_{\ell+1}} \right)

A_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}^{(\ell+1)} = \mathcal F\left( \left\{ A_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)} \right\}_{i_\ell \in i_{\ell+1}, j_\ell \in j_{\ell+1}} \right)

</math>

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其中[math]\mathcal{F}[\math]为函数，例如二值层级下，当且仅当[math]\ell[\math]层级块间存在连边时，粗粒化块间连边存在：

其中<math>\mathcal{F}</math>为函数，例如二值层级下，当且仅当\ell层级块间存在连边时，粗粒化块间连边存在：

<math>

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A_{i_{\ell+1}j_{\ell+1}}^{(\ell+1)} = 1 - \prod_{i_\ell \in i_{\ell+1}} \prod_{j_\ell \in j_{\ell+1}} \left(1 - A_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)}\right)

A_{i_{\ell+1}j_{\ell+1}}^{(\ell+1)} = 1 - \prod_{i_\ell \in i_{\ell+1}} \prod_{j_\ell \in j_{\ell+1}} \left(1 - A_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)}\right)

W_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}^{(\ell+1)} = \mathcal G\left( \left\{ W_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)} \right\}_{i_\ell \in i_{\ell+1}, j_\ell \in j_{\ell+1}} \right)

W_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}^{(\ell+1)} = \mathcal G\left( \left\{ W_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)} \right\}_{i_\ell \in i_{\ell+1}, j_\ell \in j_{\ell+1}} \right)

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[math]\mathcal F[\math]和[math]\mathcal G[\math]的选择导致结果依赖方案，且满射性质对应小尺度信息丢失，使重整化群成为半群。对偶空间方法中对快模态的有损积分具有相同性质。

<math>\mathcal F</math>和<math>\mathcal G</math>的选择导致结果依赖方案，且满射性质对应小尺度信息丢失，使重整化群成为半群。对偶空间方法中对快模态的有损积分具有相同性质。

重整化推广到耦合系数和模型参数时，若网络为确定性图，取决于参数性质；若为随机图模型，需包括随机图参数的重整化，如几何网络和多尺度网络重整化部分所述，需分析图和模型参数上诱导概率分布的函数流。在不动点处，重整化流可能统计“可逆”，逆向流可产生细粒化版本。

重整化推广到耦合系数和模型参数时，若网络为确定性图，取决于参数性质；若为随机图模型，需包括随机图参数的重整化，如几何网络和多尺度网络重整化部分所述，需分析图和模型参数上诱导概率分布的函数流。在不动点处，重整化流可能统计“可逆”，逆向流可产生细粒化版本。