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第105行： − + − + − 在牛顿版本[math]\mathbb{S}^D[/math]模型[42]中，[math]\ell=0[/math]层每个节点[math]i_0[/math]被赋予流行度变量<math>\kappa_{i_0}<\math>（从幂律分布<math>\rho(\kappa)<\math>抽取）和相似性空间坐标。维度<math>D=1<\math>时，相似性空间为半径<math>R_0<\math>的一维球面，节点<math>i_0<\math>赋予角坐标<math>\theta_{i_0}<\math>，定义角距离<math>\Delta\theta_{i_0 j_0}<\math>。节点连接概率<math>p_{i_0 j_0}<\math>遵循引力定律形式[76]：+ − <math>+ − + − </math>+ − + − + − </math>，参数<math>\mu_0<\math>决定平均度，节点期望度与<math>\kappa<\math>值成正比，<math>\beta<\math>调控网络拓扑集聚性，作为逆温度参数[76,77]。+ − + − <math>\mathbb{S}^D<\math>模型的纯几何形式为<math>\mathbb{H}^{D+1}<\math>模型[72]，隐藏度<math>\kappa<\math>对应径向坐标<math>r<\math>，连接概率转换为仅依赖双曲空间节点间距的费米-狄拉克函数。Mercator工具[79,80]通过统计推断与机器学习技术，将真实网络嵌入此空间，生成的映射可用于可视化、分析、导航及重整化等任务。 − − 该模型族能解释真实网络连接性的关键特征，包括异质度分布[42,72,82]、显著集聚性[42,72,82–84]、小世界现象[42,85–87]、渗流性质[88–90]、谱特征[91]及自相似性[42]，并可扩展至生长网络[92]、加权网络[93]、二部网络[94,95]等多种网络类型。
→几何网络重整化
### 几何模型
### 几何模型
几何软配置模型[42,72]基于节点流行度与相似性定义度量距离，双曲几何成为嵌入层级结构与小世界结构的自然空间，距离编码节点连接概率，邻近节点更易连接，与随机几何图[73,74]和社交网络隐空间模型[75]思路相似。
几何软配置模型[42,72]基于节点间的流行度（popularity）与相似性（similarity）来定义节点间的度量距离。这些抽象维度的结合使得双曲几何成为可嵌入层级结构与小世界结构的最自然的空间。此空间中的距离编码了节点间形成连接的概率，邻近节点更倾向于连接。该方法与随机几何图[73,74]及社交网络隐空间模型[75]的思路相似。
在该模型的牛顿版本[42]（称为 $$ \mathbb{S}^D $$模型）中，第 $$ \ell = 0 $$层的每个节点 $$ i_0 $$（ $$ i_0 = 1, \dots, N_0 $$）被赋予一个流行度变量及相似性空间中的坐标。流行度由隐藏度 $$ \kappa_{i_0} $$编码，该隐藏度从任意分布 $$ \rho(\kappa) $$中抽取，通常为指数 $$ -\gamma $$的幂律分布（ $$ \gamma > 0 $$）。当维度 $$ D = 1 $$时，相似性空间为半径为 $$ R_0 $$的一维球面，其设计需满足 $$ N_0 $$个节点以恒定密度分布，其中每个节点 $$ i_0 $$被赋予角坐标 $$ \theta_{i_0} $$，由此定义节点对 $$ i_0 $$与 $$ j_0 $$之间的角距离 $$ \Delta\theta_{i_0 j_0} $$。节点 $$ i_0 $$与 $$ j_0 $$的连接概率 $$ p_{i_0 j_0} $$遵循引力定律形式[76]，并定义了最大熵[2]系综
$$p_{i_0 j_0} = \frac{1}{1 + X_{i_0 j_0}}, \tag{4}$$
其中
p_{i_0 j_0} = \frac{1}{1 + X_{i_0 j_0}}
$$X_{i_0 j_0} = \frac{(R_0 \Delta \theta_{i_0 j_0})^{\beta}}{(\mu_0 \kappa_{i_0} \kappa_{j_0})^{\max(1,\beta)}}. \tag{5}$$
参数 $$ \mu_0 $$决定了平均度 $$ \langle k \rangle_0 $$，且各节点的期望度与其 $$ \kappa $$值成正比。 $$ \beta $$调控网络拓扑的集聚性，反映隐空间中的三角不等式约束，并作为逆温度参数[76,77]。
其中<math>
该模型在 $$ \beta = 1 $$处呈现反常拓扑相变（参考文献77）。在几何相（ $$ \beta > 1 $$）中，集聚系数保持有限值[42]；而在非几何相（ $$ 0 \leq \beta \leq 1 $$）的热力学极限下，集聚系数趋于零。然而，在准几何区域 $$ 0.5 \lessapprox \beta < 1 $$内，集聚系数衰减至零的速度极慢[78]，表明有限规模网络仍保留显著水平的集聚性，能够与某些真实复杂网络具有相当性质。因此，较低“温度”（低 $$ \beta $$）对应短程连接占优，而较高“温度”（高 $$ \beta $$）则是对不同长度连接的生成概率的平衡。
X_{i_0 j_0} = \frac{(R_0 \Delta \theta_{i_0 j_0})^{\beta}}{(\mu_0 \kappa_{i_0} \kappa_{j_0})^{\max(1,\beta)}}
$$ \mathbb{S}^D $$模型具有纯几何形式—— $$ \mathbb{H}^{D+1} $$模型[72]，其中隐藏度 $$ \kappa $$对应于径向坐标 $$ r $$，从而将连接概率（方程(4)）转换为仅依赖于双曲空间中节点间距的费米-狄拉克函数。Mercator工具[79,80]通过统计推断与机器学习技术，最大化观测网络结构与 $$ \mathbb{S}^D $$（等价于 $$ \mathbb{H}^{D+1} $$）模型[81]的契合度，将真实网络嵌入此空间。生成的空间映射可进一步用于可视化、分析、导航及重整化等下游任务。
该模型族能有效解释真实网络连接性的关键特征，包括异质度分布[42,72,82]、显著集聚性[42,72,82–84]、小世界现象[42,85–87]、渗流性质[88–90]、谱特征[91]及自相似性[42]。该框架还可以进一步扩展至生长网络的优先连接机制[92]、加权网络[93]、二部网络[94,95]、互补性驱动网络[96]、多层网络[97,98]、具有社区结构的网络[99–101]、有向网络[102]以及节点含关联特征的网络[103]。
该模型在<math>\beta=1<\math>处呈现反常拓扑相变[77]，几何相（<math>\beta>1<\math>）中集聚系数保持有限[42]，非几何相（<math>0\leq\beta\leq1<\math>）热力学极限下集聚系数趋于零，但准几何区域<math>0.5\lessapprox\beta<1<\math>内衰减极慢[78]，表明有限规模网络保留显著集聚性，与某些真实复杂网络性质相当。
图1 真实网络上几何重整化的直接与逆向方法及其结果。 a. 几何重整化（GR）变换示意图。在层级 $$ \ell = 0 $$ 中，沿相似性圆定义 $$ r = 2 $$ 个连续节点组成的非重叠蓝色块，从而将原 $$ N_0 $$ 个节点划分为 $$ N_1 = N_0/r $$ 个块，形成分区 $$ \Omega_0 $$。这些块被粗粒化为层级 $$ \ell = 1 $$ 中的超节点，每个超节点的角坐标由其 $$ \ell = 0 $$ 层构成节点所在区域确定。如方程(2)所述连接 $$ \ell = 1 $$ 层的超节点，该过程可迭代生成 $$ \ell = 2 $$ 层。由于半群性质， $$ \ell = 2 $$ 层亦可直接通过 $$ r = 4 $$ 的块从 $$ \ell = 0 $$ 层生成。b. GR 复现人脑连接组的多尺度连通结构。基于解剖数据重建五级长度尺度的多尺度层级表示（上图）。各尺度 $$ \ell $$ 下连接组的拓扑特性（符号）与基于最高分辨率几何映射的 GR 预测（曲线）高度吻合（下图）。从左至右依次为：互补累积度分布 $$ P_c(k_{\text{res}}) $$、聚类系数 $$ \bar{c}(k_{\text{res}}) $$、归一化最近邻平均度 $$ \bar k_{\text{nn}} (k_{\text{res}}) = \bar k_{\text{nn}}(k_\text{res}) \langle k \rangle/\langle k \rangle^2 $$ 及富俱乐部系数 $$ r(k_{\text{res}}) $$。计算中采用重整化度 $$ k_{\text{res}} = k/\langle k \rangle $$ 以消除各层级平均度差异的影响。 c. 几何分支生长过程（GBG）以自相似方式演化网络。d. GBG 是 GR 的统计逆过程：对互联网重整化层级应用 GBG 可恢复原始网络的统计等效结构；反之，对 GBG 生成的人体代谢网络替代体应用 GR 可复原原始架构。e. GR 与 GBG 的结合为单实例真实网络的有限尺寸标度研究提供方法，可数值估算临界指数。以互联网链路随机失效的键逾渗模拟为例，网络尺寸 $$ N $$、临界键占据概率 $$ p_c $$ 及磁化率最大值 $$ \xi_{\text{max}} $$ 均符合幂律关系（黑色符号为原始网络数据）。GBG 与 GR 壳层参数为分支率 $$ b = 2 $$、块尺寸 $$ r = 2 $$，结果表明互联网图存在逾渗阈值消失现象，符合无标度网络预期。图a改编自文献[70]（Springer Nature Limited）；图b转载自文献[104]（PNAS）；图c、d、e改编自文献[69]（PNAS）。
### 几何重整化技术
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