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== 复杂网络重整化的挑战 ==

== 复杂网络重整化的挑战 ==

应用重整化群方法，研究者们已成功发现了一大类系统的普适性特征，对构建自然现象的自下而上的模型具有重要价值。然而在更多真实世界问题中，相互作用极少呈现类格点似的同质规则性。结构无序性与空间非均匀相互作用导致了具有拓扑几何异质性的网络模式（pattern）。真实世界网络的特征包括：第一，度分布（节点连接数的分布）具有多样性；第二，即使是大规模网络，其任意两点间的平均路径长度往往也很短（即小世界网络特性）；第三，即使是稀疏网络，其局部三角密度（集聚系数）也是非零的有限值；第四，模块化的社区结构或层级型结构等[1-4]。这些不规则特征对推广标准重整化群方法构成挑战，同时系统有限性引起的边界效应与有限尺度的效应[5-9]会导致问题更加复杂。

应用重整化群方法，研究者们已成功发现了一大类系统的普适性特征，对构建自然现象的自下而上的模型具有重要价值。然而在更多真实世界问题中，相互作用极少呈现类格点似的同质规则性。结构无序性与空间非均匀相互作用导致了具有拓扑几何异质性的网络模式（pattern）。真实世界网络的特征包括：第一，度分布（节点连接数的分布）具有多样性；第二，即使是大规模网络，其任意两点间的平均路径长度往往也很短（即小世界网络特性）；第三，即使是稀疏网络，其局部三角密度（集聚系数）也是非零的有限值；第四，模块化的社区结构或层级型结构等[1-3]<ref name="Cimini_statistical_physics">{{cite journal|author1=Cimini G.|title=The statistical physics of real-world networks|journal=Nat. Rev. Phys.|year=2019|volume=1|url=}}</ref>。这些不规则特征对推广标准重整化群方法构成挑战，同时系统有限性引起的边界效应与有限尺度的效应[5-7]<ref name="Chen_Scaling_properties">{{cite journal|author1=Chen D|author2=Cai D|author3=Su H.|title=Scaling properties of scale-free networks in degree-thresholding renormalization flows|journal=IEEE Trans. Netw. Sci. Eng.|year=2023|volume=10|url=}}</ref><ref name="Serafino_True_scale_free">{{cite journal|author1=Serafino M.|title=True scale-free networks hidden by finite size effects|journal=Proc. Natl Acad. Sci. USA|year=2021|volume=118|url=}}</ref>会导致问题更加复杂。

利用重整化群对系统进行分析，通常由以下三个基本步骤组成。第一，定义粗粒化变量。可以是在实空间中将粗粒化变量定义为包含多个微观单元的相同介观单元或者定义为能够平铺实空间“模块”；也可以将其定义为在对偶的 k-空间中将变量分解为从最短到最长的不同波长的分量；第二，利用求平均或边缘分布，约化掉系统中由局部涨落为代表的微小细节，即将小尺度单元或短波长（快速）模态等属性进行平均化，从而得到更上一层级的性质；第三，对粗粒化系统的耦合模式和参数数值进行重整化。（在具有连续自由度的理论中，重整化还需要一些技巧来处理不可避免出现的无穷大。这种方法在粒子物理学和统计场论中是熟知的<ref name="Itzykson_Statistical_Field_Theory">{{cite journal|author1=Itzykson C|author2=Drouffe J. M.|title=Statistical Field Theory: Volume 1, From Brownian Motion to Renormalization and Lattice Gauge Theory|journal=Cambridge Univ. Press|year=1989|url=}}</ref><ref name="Burgess_Effective_Field_Theory">{{cite journal|author1=Burgess C. P.|title=Introduction to Effective Field Theory|journal=Cambridge Univ. Press|year=2020|url=}}</ref>，但在当前复杂网络的背景下，由于离散和有限性质，不需要这种额外的处理手段）。这些操作的重复执行，可以产生重整化流（RG flow），其轨迹和不动点也是研究对象之一。

利用重整化群对系统进行分析，通常由以下三个基本步骤组成。第一，定义粗粒化变量。可以是在实空间中将粗粒化变量定义为包含多个微观单元的相同介观单元或者定义为能够平铺实空间“模块”；也可以将其定义为在对偶的 k-空间中将变量分解为从最短到最长的不同波长的分量；第二，利用求平均或边缘分布，约化掉系统中由局部涨落为代表的微小细节，即将小尺度单元或短波长（快速）模态等属性进行平均化，从而得到更上一层级的性质；第三，对粗粒化系统的耦合模式和参数数值进行重整化。（在具有连续自由度的理论中，重整化还需要一些技巧来处理不可避免出现的无穷大。这种方法在粒子物理学和统计场论中是熟知的<ref name="Itzykson_Statistical_Field_Theory">{{cite journal|author1=Itzykson C|author2=Drouffe J. M.|title=Statistical Field Theory: Volume 1, From Brownian Motion to Renormalization and Lattice Gauge Theory|journal=Cambridge Univ. Press|year=1989|url=}}</ref><ref name="Burgess_Effective_Field_Theory">{{cite journal|author1=Burgess C. P.|title=Introduction to Effective Field Theory|journal=Cambridge Univ. Press|year=2020|url=}}</ref>，但在当前复杂网络的背景下，由于离散和有限性质，不需要这种额外的处理手段）。这些操作的重复执行，可以产生重整化流（RG flow），其轨迹和不动点也是研究对象之一。