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=== 自相似细粒化 ===

=== 自相似细粒化 ===

几何分支生长（GBG）模型[69]作为几何重整化的逆向技术，能准确预测世界贸易网和期刊引文网络等增长网络的自相似行为，通过生成自相似度量推广复制网络原始结构，可扩展至任意大网络规模。

几何分支生长（geometric branching growth，GBG）模型[69]作为几何重整化的逆向技术，能准确预测真实世界的增长网络的自相似行为，例如世界贸易网和期刊引文网络的长期演化行为。该模型通过生成自相似度量推广来复制网络原始结构，可推广至任意大网络规模。

从层级$$\ell$$生成细粒度层级$$\ell-1$$时，将原始层级节点以概率$$p$$划分为$$r$$个后代，节点数量增加为$$N_{\ell-1} = N_\ell(1 + p(r - 1)) = bN_\ell$$，其中$$b$$为分支率。不分裂节点保留坐标，后代节点赋予新坐标，隐藏度遵循几何重整化规则，分布$$\rho(z)$$与祖先层级相同，要求度分布为稳定分布[107]，角坐标固定在祖先左右两侧，略有偏移以保持旋转顺序。

为了从层级 <math>\ell</math> 开始生成几何分支生长模型细粒度层级 <math>\ell - 1</math>（相对于粗粒化方向的“反向”），将原始层级中的节点以概率 <math>p</math> 划分为 <math>r</math> 个后代（图1c），从而使节点数量增加为 <math>N_{\ell-1} = N_\ell(1 + p(r - 1)) = bN_\ell</math>，其中 <math>b</math> 为分支率。不分裂的节点保留其坐标，每个后代节点赋予新的坐标。后代的隐藏度必须通过满足公式 (6) 来遵循几何重整化规则，并且它们的分布 <math>\rho(z)</math> 也应保持与祖先层级的分布相同，这就要求度分布必须是一个稳定分布[107]。此外，它们的角坐标固定在祖先的左右两侧，可以略有角偏移，以保持其旋转顺序。更多细节见附录。一旦为后代分配了坐标，就需要确定新层级中的连接，以确保生成的网络属于 <math>\mathbb{S}^1</math> 系综。

设$$\mu_{\ell-1} = b\mu_\ell$$，迭代应用GBG模型生成细粒化自相似层级，保留原始经验连接概率、度分布、集聚系数和社区结构，平均度减小。添加额外链接并设置$$\mu_{\ell-1} = a\mu_{\ell-1}$$（$$a>1$$）得到膨胀版本，避免平均度快速减小。GBG是积分重整化的统计逆过程，膨胀GBG是收缩几何重整化的统计逆过程，加权和非加权$$\mathbb{S}^1$$模型的重整化复现真实网络多尺度自相似性，表明相同原则决定不同尺度网络连接性。

设 <math>\mu_{\ell-1} = b\mu_\ell</math>，迭代应用几何分支生长模型将生成一系列逐渐细粒化的自相似层级，也就是说，原始的经验连接概率、度分布、集聚系数和社区结构在流中得以保留，而平均度则会减小。通过添加额外的链接并设置 <math>\mu_{\ell-1} = a\mu_{\ell-1}</math>（其中 <math>a > 1</math>）得到几何分支生长模型的膨胀版本，这种改进可以增加平均度或者至少可以避免平均度的快速减小。几何分支生长模型是积分重整化的统计逆过程（图1d），而膨胀几何分支生长模型则是收缩几何重整化（deflationary GR）的统计逆过程，其中剪掉链接的操作会减小平均度。加权和非加权的 <math>\mathbb S^1</math> 模型的重整化能够准确复现真实网络中观察到的多尺度自相似性，这表明相同的原则能够在不同尺度上决定网络的长程和短程连接的连通性。

=== 应用 ===

=== 应用 ===