5,443
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第249行：
第249行： − 使用划分$$\Omega_\ell$$将网络粗粒化至$$\ell+1$$层级时，构型$$A^{(\ell+1)}$$的概率仍由上述方程描述，其中$$\ell$$替换为$$\ell+1$$且参数重整化为：+ − − x_{i_{\ell+1}} = \sum_{i_{\ell} \in \Omega} x_{i_{\ell}}, \quad d_{i_{\ell+1},j_{\ell+1}} = f^{-1}\left(\dfrac{\sum_{\substack{i_{\ell} \in i_{\ell+1}, j_{\ell} \in j_{\ell+1}}} \delta x_{i_{\ell}} x_{j_{\ell}} f(d_{i_{\ell},j_{\ell}})}{\sum_{\substack{i_{\ell} \in i_{\ell+1}, j_{\ell} \in j_{\ell+1}}} \delta x_{i_{\ell}} x_{j_{\ell}} }\right) − − 其中$$\delta$$尺度不变，保持不变。当$$\{d_{i_\ell j_\ell}\}$$为超度量时，重整化后仍保持超度量性，另一特例是令$$f(d) \equiv 1$$消去所有二元效应，使模型完全由适应度驱动，关键是适应度参数不可消去，代表模型中不可约简的特征。 − 值得注意的是，对应配分函数$$Z(\delta)$$可精确计算，证明在任意计算层级取值相同[137]，证实多尺度模型位于重整化流的不动点上。与几何或拉普拉斯方法不同，多尺度模型既不需要节点坐标的度量空间嵌入，也不需要扩散邻近性概念，允许任意划分，聚合不变性较邻近驱动的尺度不变性更显著。+ + + + + + + + +
→参数重整化与聚合不变性
=== 参数重整化与聚合不变性 ===
=== 参数重整化与聚合不变性 ===
当使用划分 <math>\Omega_\ell</math>将网络粗粒化至 <math>\ell + 1</math>层级时，构型 <math>A^{(\ell+1)}</math>的概率仍精确由方程(10)和(11)描述，其中 <math>\ell</math>替换为 <math>\ell + 1</math>且参数重整化为：
<math>
</math>
<math>x_{i_{\ell+1}} = \sum_{i_{\ell} \in \Omega} x_{i_{\ell}}, \quad d_{i_{\ell+1},j_{\ell+1}} = f^{-1}\left(\dfrac{\sum_{\substack{i_{\ell} \in i_{\ell+1}, j_{\ell} \in j_{\ell+1}}} \delta x_{i_{\ell}} x_{j_{\ell}} f(d_{i_{\ell},j_{\ell}})}{\sum_{\substack{i_{\ell} \in i_{\ell+1}, j_{\ell} \in j_{\ell+1}}} \delta x_{i_{\ell}} x_{j_{\ell}} }\right),\tag{12}</math>
其中 <math>\delta</math>具有尺度不变性，即重整化过程中保持不变。（注：此处原文可能有笔误，这里添加了一个<math>\delta</math>。）
当 <math>\{d_{i_\ell j_\ell}\}_{i_\ell,j_\ell=1}^{N_\ell}</math>为超度量时（即 <math>d_{i_\ell j_\ell}</math>可表示为树图中节点 <math>i</math>和 <math>j</math>到其共同分支点的距离，其中节点为叶节点），重整化后仍保持超度量性：对任意 <math>\ell \in \mathbb{N}</math>和 <math>i_{\ell},j_{\ell} \in [r_{\ell}]</math>，有 <math>d_{i_{\ell+1},j_{\ell+1}} = f^{-1}(f(d_{i_{\ell},j_{\ell}}) + d_{i_{\ell},j_{\ell}})</math>（参考文献137）。另一特例是，令 <math>f(d) \equiv 1</math>可消去所有二元效应（dyadic effects），使模型完全由适应度驱动。关键的是，适应度参数本身不可消去，代表模型中不可约简的特征。
值得注意的是，方程(11)对应的配分函数 <math>Z(\delta)</math>是可以精确计算的，并可以证明其在任意计算层级取值相同[137]，这证实了多尺度模型位于重整化流的不动点上（见附录）。与之前讨论的几何或拉普拉斯方法不同，多尺度模型既不需要带节点坐标的度量空间嵌入，也不需要扩散邻近性概念来进行重整化。实际上，该模型允许任意划分，其聚合不变性相对于邻近驱动的尺度不变性也更加显著。
多尺度模型可以推广至加权[145]和定向[139]网络。定向网络的推广是直接的：由于模型不依赖几何距离（但是必须要求对称，尽管定向网络具有通常不对称性），可通过为每个节点添加另一个适应度变量处理定向网络。为每个节点增加第三个适应度参数后，模型还能描述非平凡的互利度（reciprocity）[109]，从而能建模真实世界的有向网络[100-109]。更一般地，适应度变量 <math>x_{i,}</math>可以是任意维向量，上述表达式中的乘积 <math>x_{i,} x_{i,}</math>可解释为内积[100,101]。
=== 真实世界网络重整化的淬火变体 ===
=== 真实世界网络重整化的淬火变体 ===