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=== 将拉普拉斯扩散视为近邻检测 ===
=== 将拉普拉斯扩散视为近邻检测 ===
构建异构无向网络(二值或加权)的拉普拉斯重整化群（Laplacian renormalization group，LRG）方法的第一步骤是利用对称图拉普拉斯算子[110,114] <math>L^{(0)}</math>定义节点在固定尺度下的“等效”邻域。该算子在初始层级 <math>\ell = 0</math>由邻接矩阵 <math>A^{(0)}</math>构造，其矩阵元素为<math>L_{i_0j_0}^{(0)} = k_{i_0}\delta_{i_0j_0} - A_{i_0j_0}^{(0)}</math>，其中 <math>\delta_{i_0j_0}</math>为Kronecker <math>\delta</math>符号，<math>k_{i_0} = \sum_{j_0=1}^{N_0}A_{i_0j_0}^{(0)}</math>表示节点 <math>i_0</math>的度( <math>i_0 = 1,\cdots,N_0</math>)。
构建异构无向网络(二值或加权)的拉普拉斯重整化群（Laplacian renormalization group，LRG）方法的第一步骤是利用对称图拉普拉斯算子<ref name="Masuda_random_2017">{{cite journal|author1=Masuda, N.|author2=Porter, M. A.|author3=Lambiotte, R.|title=Random walks and diffusion on networks|journal=Phys. Rep.|year=2017|volume=716|url=}}</ref><ref name="Newman_networks_2010">{{cite book|author1=Newman, M. E. J.|title=Networks: An Introduction|publisher=Oxford Univ. Press|year=2010|url=}}</ref> <math>L^{(0)}</math>定义节点在固定尺度下的“等效”邻域。该算子在初始层级 <math>\ell = 0</math>由邻接矩阵 <math>A^{(0)}</math>构造，其矩阵元素为<math>L_{i_0j_0}^{(0)} = k_{i_0}\delta_{i_0j_0} - A_{i_0j_0}^{(0)}</math>，其中 <math>\delta_{i_0j_0}</math>为Kronecker <math>\delta</math>符号，<math>k_{i_0} = \sum_{j_0=1}^{N_0}A_{i_0j_0}^{(0)}</math>表示节点 <math>i_0</math>的度( <math>i_0 = 1,\cdots,N_0</math>)。
设 <math>X^{(0)}(\tau)</math>代表定义在网络上的扩散场在时刻 <math>\tau</math>的值，并记 <math>X_{i_0}^{(0)}(\tau)</math>为节点 <math>i_0</math>的分量，假设其遵循热扩散方程 <math>\mathring{X}^{(0)} = -L^{(0)}X^{(0)}(\tau)</math>，则可形式化表示为
设 <math>X^{(0)}(\tau)</math>代表定义在网络上的扩散场在时刻 <math>\tau</math>的值，并记 <math>X_{i_0}^{(0)}(\tau)</math>为节点 <math>i_0</math>的分量，假设其遵循热扩散方程 <math>\mathring{X}^{(0)} = -L^{(0)}X^{(0)}(\tau)</math>，则可形式化表示为
<math>X^{(0)}(\tau) = K^{(0)}(\tau)X^{(0)}(0) = \mathrm{e}^{-\tau L^{(0)}}X^{(0)}(0),\tag{7}</math>
<math>X^{(0)}(\tau) = K^{(0)}(\tau)X^{(0)}(0) = \mathrm{e}^{-\tau L^{(0)}}X^{(0)}(0),\tag{7}</math>
其中扩散演化算子 <math>K^{(0)}(\tau) \equiv \mathrm{e}^{-\tau L^{(0)}}</math>。矩阵元素 <math>K_{i_0j_0}^{(0)}</math>给出了该场在时间 <math>\tau</math>内从节点 <math>j_0</math>到 <math>i_0</math>(及反向)通过所有可能路径发生的扩散的比例[115,116]。
其中扩散演化算子 <math>K^{(0)}(\tau) \equiv \mathrm{e}^{-\tau L^{(0)}}</math>。矩阵元素 <math>K_{i_0j_0}^{(0)}</math>给出了该场在时间 <math>\tau</math>内从节点 <math>j_0</math>到 <math>i_0</math>(及反向)通过所有可能路径发生的扩散的比例<ref name="Moretti_network_2019">{{cite journal|author1=Moretti, P.|author2=Zaiser, M.|title=Network analysis predicts failure of materials and structures|journal=Proc. Natl Acad. Sci. USA|year=2019|volume=116|url=}}</ref><ref name="Burioni_random_2005">{{cite journal|author1=Burioni, R.|author2=Cassi, D.|title=Random walks on graphs: ideas, techniques and results|journal=J. Phys. A|year=2005|volume=38|url=}}</ref>。
设 <math>L^{(0)}</math>的特征值为 <math>\{\lambda_i^{(0)}\}_{i=1}^{N_0}</math>(满足 <math>\lambda_1^{(0)} \leq \lambda_2^{(0)} \leq \cdots \leq \lambda_{N_0}^{(0)}</math>)，对应特征向量为 <math>\{\boldsymbol{v}_i^{(0)}\}_{i=1}^{N_0}</math>。对于连通无向网络，所有特征值非负且仅含一个零特征值，且可将特征向量正交归一化。 <math>K^{(0)}(\tau)</math>共享了特征值为 <math>0 < \mathrm{e}^{-\lambda_i^{(0)}\tau} \leq 1</math>的特征向量。参数 <math>\tau</math>可视为网络尺度度量：较大 <math>\tau</math>对应扩散连接的更大邻域。例如对格点来说，每个 <math>\tau</math>对应空间尺度 <math>l = \sqrt{D\tau}</math>( <math>D</math>为扩散常数)，此时 <math>K^{(0)}(\tau)</math>在每个时间 <math>\tau</math>都诱导了网络的一个最优划分[117]。
设 <math>L^{(0)}</math>的特征值为 <math>\{\lambda_i^{(0)}\}_{i=1}^{N_0}</math>(满足 <math>\lambda_1^{(0)} \leq \lambda_2^{(0)} \leq \cdots \leq \lambda_{N_0}^{(0)}</math>)，对应特征向量为 <math>\{\boldsymbol{v}_i^{(0)}\}_{i=1}^{N_0}</math>。对于连通无向网络，所有特征值非负且仅含一个零特征值，且可将特征向量正交归一化。 <math>K^{(0)}(\tau)</math>共享了特征值为 <math>0 < \mathrm{e}^{-\lambda_i^{(0)}\tau} \leq 1</math>的特征向量。参数 <math>\tau</math>可视为网络尺度度量：较大 <math>\tau</math>对应扩散连接的更大邻域。例如对格点来说，每个 <math>\tau</math>对应空间尺度 <math>l = \sqrt{D\tau}</math>( <math>D</math>为扩散常数)，此时 <math>K^{(0)}(\tau)</math>在每个时间 <math>\tau</math>都诱导了网络的一个最优划分<ref name="Villegas_multiscale_2025">{{cite journal|author1=Villegas, P.|author2=Gabrielli, A.|author3=Poggialini, A.|author4=Gili, T.|title=Multi-scale Laplacian community detection in heterogeneous networks|journal=Phys. Rev. Res.|year=2025|volume=7|url=}}</ref>。
=== 实空间中的拉普拉斯重整化群 ===
=== 实空间中的拉普拉斯重整化群 ===