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=== 真实世界网络重整化的淬火变体 ===

=== 真实世界网络重整化的淬火变体 ===

在多尺度模型的“淬火”变体中，可以将节点适应度解释为某种确定性的属性，例如观测量或潜在的节点特征等[137,139,150,151]。因此该变体可用于对真实世界的网络进行基于经验量的显式建模（如适应度模型族[152]），或基于潜在变量的建模（如节点嵌入算法族[153]）。然而，这些算法族的通用模型是在固定分辨率层级构建的，而多尺度模型要求通过重整化参数在所有聚合层级一致描述同一系统，即保持相同连接概率。因此，这是唯一在聚合后仍保持适应度模型特征的适应度可加性模型[137,150]，同时也是在任意粗粒化下生成一致节点嵌入的方法[151]。

在多尺度模型的“淬火”变体中，可以将节点适应度解释为某种确定性的属性，例如观测量或潜在的节点特征等<ref name="Garuccio_multiscale_2023">{{cite journal|author1=Garuccio, E.|author2=Lalli, M.|author3=Garlaschelli, D.|title=Multiscale network renormalization: scale-invariance without geometry|journal=Phys. Rev. Res.|year=2023|volume=5|url=}}</ref><ref name="Lalli_geometry-free_2024">{{cite journal|author1=Lalli, M.|author2=Garlaschelli, D.|title=Geometry-free renormalization of directed networks: scale-invariance and reciprocity|journal=Preprint at arXiv|year=2024|url=}}</ref><ref name="Ialongo_multi-scale_2024">{{cite journal|author1=Ialongo, L. N.|author2=Bangma, S.|author3=Jansen, F.|author4=Garlaschelli, D.|title=Multi-scale reconstruction of large supply networks|journal=Preprint at arXiv|year=2024|url=}}</ref><ref name="Milocco_embeddings">{{cite journal|author1=Milocco R|author2=Jansen F|author3=Garlaschelli D.|title=Multi-scale node embeddings for graph modeling and generation|journal=Preprint at arXiv|year=2024}}</ref>。因此该变体可用于对真实世界的网络进行基于经验量的显式建模（如适应度模型族<ref name="Caldarelli_fitness">{{cite journal|author1=Caldarelli G|author2=Capocci A|author3=Los Rios P|author4=Munoz M. A.|title=Scale-free networks from varying vertex intrinsic fitness|journal=Phys. Rev. Lett.|year=2002|volume=89}}</ref>），或基于潜在变量的建模（如节点嵌入算法族<ref name="Dehghan_embeddings">{{cite journal|author1=Dehghan-Kooshkghazi A|author2=Kamiński B|author3=Kraiński Ł|author4=Prałat P|author5=Théberge F.|title=Evaluating node embeddings of complex networks|journal=J. Complex Netw.|year=2022|volume=10}}</ref>）。然而，这些算法族的通用模型是在固定分辨率层级构建的，而多尺度模型要求通过重整化参数在所有聚合层级一致描述同一系统，即保持相同连接概率。因此，这是唯一在聚合后仍保持适应度模型特征的适应度可加性模型<ref name="Garuccio_multiscale_2023">{{cite journal|author1=Garuccio, E.|author2=Lalli, M.|author3=Garlaschelli, D.|title=Multiscale network renormalization: scale-invariance without geometry|journal=Phys. Rev. Res.|year=2023|volume=5|url=}}</ref><ref name="Ialongo_multi-scale_2024">{{cite journal|author1=Ialongo, L. N.|author2=Bangma, S.|author3=Jansen, F.|author4=Garlaschelli, D.|title=Multi-scale reconstruction of large supply networks|journal=Preprint at arXiv|year=2024|url=}}</ref>，同时也是在任意粗粒化下生成一致节点嵌入的方法<ref name="Milocco_embeddings">{{cite journal|author1=Milocco R|author2=Jansen F|author3=Garlaschelli D.|title=Multi-scale node embeddings for graph modeling and generation|journal=Preprint at arXiv|year=2024}}</ref>。\

该模型在多个层级成功复现了国际贸易网络[137,139]（适应度对应于各国经验GDP，二元因子对应于 <math>f(d)=d^{-1}</math>描述的地理距离）、企业间网络[150]和投入产出网络[151]（外向/内向适应度分别定义为公司/行业总产出/总投入， <math>f\equiv1</math>）的特性。当二元和/或适应度量从数据输入时，仅剩全局参数作为自由参数。该参数可在特定分辨率层级拟合，同时提供所有其他层级的预测。这些多尺度预测与多层级经验网络特性高度吻合[137,139,150]（图3b）。

该模型在多个层级成功复现了国际贸易网络<ref name="Garuccio_multiscale_2023">{{cite journal|author1=Garuccio, E.|author2=Lalli, M.|author3=Garlaschelli, D.|title=Multiscale network renormalization: scale-invariance without geometry|journal=Phys. Rev. Res.|year=2023|volume=5|url=}}</ref><ref name="Lalli_geometry-free_2024">{{cite journal|author1=Lalli, M.|author2=Garlaschelli, D.|title=Geometry-free renormalization of directed networks: scale-invariance and reciprocity|journal=Preprint at arXiv|year=2024|url=}}</ref>（适应度对应于各国经验GDP，二元因子对应于 <math>f(d)=d^{-1}</math>描述的地理距离）、企业间网络<ref name="Ialongo_multi-scale_2024">{{cite journal|author1=Ialongo, L. N.|author2=Bangma, S.|author3=Jansen, F.|author4=Garlaschelli, D.|title=Multi-scale reconstruction of large supply networks|journal=Preprint at arXiv|year=2024|url=}}</ref>和投入产出网络<ref name="Milocco_embeddings">{{cite journal|author1=Milocco R|author2=Jansen F|author3=Garlaschelli D.|title=Multi-scale node embeddings for graph modeling and generation|journal=Preprint at arXiv|year=2024}}</ref>（外向/内向适应度分别定义为公司/行业总产出/总投入， <math>f\equiv1</math>）的特性。当二元和/或适应度量从数据输入时，仅剩全局参数作为自由参数。该参数可在特定分辨率层级拟合，同时提供所有其他层级的预测。这些多尺度预测与多层级经验网络特性高度吻合<ref name="Garuccio_multiscale_2023">{{cite journal|author1=Garuccio, E.|author2=Lalli, M.|author3=Garlaschelli, D.|title=Multiscale network renormalization: scale-invariance without geometry|journal=Phys. Rev. Res.|year=2023|volume=5|url=}}</ref><ref name="Lalli_geometry-free_2024">{{cite journal|author1=Lalli, M.|author2=Garlaschelli, D.|title=Geometry-free renormalization of directed networks: scale-invariance and reciprocity|journal=Preprint at arXiv|year=2024|url=}}</ref><ref name="Ialongo_multi-scale_2024">{{cite journal|author1=Ialongo, L. N.|author2=Bangma, S.|author3=Jansen, F.|author4=Garlaschelli, D.|title=Multi-scale reconstruction of large supply networks|journal=Preprint at arXiv|year=2024|url=}}</ref>（图3b）。

需注意该模型能在极端非均匀的情况下解决聚合方案（其他方法在此类情形下失效）：例如在生产网络中，部分节点可代表某一欧盟国家的独立企业，其他节点可代表剩余欧盟国家整体（各国企业被聚合为单一节点），而“世界其他地区”节点则可代表所有非欧盟国家的聚合体[150]。

需注意该模型能在极端非均匀的情况下解决聚合方案（其他方法在此类情形下失效）：例如在生产网络中，部分节点可代表某一欧盟国家的独立企业，其他节点可代表剩余欧盟国家整体（各国企业被聚合为单一节点），而“世界其他地区”节点则可代表所有非欧盟国家的聚合体<ref name="Ialongo_multi-scale_2024">{{cite journal|author1=Ialongo, L. N.|author2=Bangma, S.|author3=Jansen, F.|author4=Garlaschelli, D.|title=Multi-scale reconstruction of large supply networks|journal=Preprint at arXiv|year=2024|url=}}</ref>。

当然，对于一般真实网络，并不能保证存在可与多尺度模型中加性适应度变量对应的经验节点特征。在此情形下，适应度变量可视为需优化拟合的自由参数（通常为给定维度的向量），其拟合仅依赖于经验网络的结构信息[151]。此过程生成抽象向量空间中的节点嵌入表示，其向量和对应节点的合并操作[151]。该方向的开放性挑战仍在于确定嵌入向量的最优维度及其唯一性问题。

当然，对于一般真实网络，并不能保证存在可与多尺度模型中加性适应度变量对应的经验节点特征。在此情形下，适应度变量可视为需优化拟合的自由参数（通常为给定维度的向量），其拟合仅依赖于经验网络的结构信息<ref name="Milocco_embeddings">{{cite journal|author1=Milocco R|author2=Jansen F|author3=Garlaschelli D.|title=Multi-scale node embeddings for graph modeling and generation|journal=Preprint at arXiv|year=2024}}</ref>。此过程生成抽象向量空间中的节点嵌入表示，其向量和对应节点的合并操作<ref name="Milocco_embeddings">{{cite journal|author1=Milocco R|author2=Jansen F|author3=Garlaschelli D.|title=Multi-scale node embeddings for graph modeling and generation|journal=Preprint at arXiv|year=2024}}</ref>。该方向的开放性挑战仍在于确定嵌入向量的最优维度及其唯一性问题。

=== 集群无标度网络与细粒度化的退火变体 ===

=== 集群无标度网络与细粒度化的退火变体 ===