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=== 集群无标度网络与细粒度化的退火变体 ===

=== 集群无标度网络与细粒度化的退火变体 ===

在退火变体[137,138]中，将节点适应度视为随机变量，类似于非均匀随机图家族的情况[154]。因此，它作为一个“隐”变量，不与任何特定的真实世界特征相关联。在这种方法中，聚合不变性的要求也适用于适应度：在任何层次级别 <math>\ell</math>，人们应当能从相同的概率密度函数中抽取节点适应度，而无需“知道”它们在更细层次上的值（或密度函数）。由于适应度具有加性，这一要求立即表明它应为 <math>\alpha</math>-稳定随机变量[141]，意味着其密度函数在大 <math>x</math>时衰减为 <math>x^{-1-\alpha}</math>。为确保适应度的必要正性，指数需在 <math>\alpha \in (0,1)</math>范围内，这导致适应度的均值（及所有更高阶矩）发散。在此范围内，唯一已知的 <math>\alpha</math>-稳定分布为Lévy分布（ <math>\alpha = 1/2</math>），但对于任意 <math>\alpha</math>值，人们都能推导出严格结果，且这些结果基本与 <math>\alpha</math>无关[138]。若将节点聚集成大小相等的块，适应度将保持相同的密度，仅需对全局参数进行重新缩放。在退火变体中，多尺度模型能生成任意大的网络，其性质确实可在节点数量发散的渐近极限下研究[138]。

在退火变体<ref name="Garuccio_multiscale_2023">{{cite journal|author1=Garuccio, E.|author2=Lalli, M.|author3=Garlaschelli, D.|title=Multiscale network renormalization: scale-invariance without geometry|journal=Phys. Rev. Res.|year=2023|volume=5|url=}}</ref><ref name="Avena_inhomogeneous_2022">{{cite journal|author1=Avena, L.|author2=Garlaschelli, D.|author3=Hazra, R. S.|author4=Lalli, M.|title=Inhomogeneous random graphs with infinite-mean fitness variables|journal=Preprint at arXiv|year=2022|url=}}</ref>中，将节点适应度视为随机变量，类似于非均匀随机图家族的情况<ref name="Hofstad_networks">{{cite journal|author1=van der Hofstad R.|title=Random Graphs and Complex Networks|journal=Cambridge Univ. Press|year=2024}}</ref>。因此，它作为一个“隐”变量，不与任何特定的真实世界特征相关联。在这种方法中，聚合不变性的要求也适用于适应度：在任何层次级别 <math>\ell</math>，人们应当能从相同的概率密度函数中抽取节点适应度，而无需“知道”它们在更细层次上的值（或密度函数）。由于适应度具有加性，这一要求立即表明它应为 <math>\alpha</math>-稳定随机变量<ref name="Samorodnitsky_stable_1994">{{cite book|author1=Samorodnitsky, G.|author2=Taqqu, M. S.|title=Stable Non-Gaussian Random Processes: Stochastic Models with Infinite Variance|publisher=Chapman & Hall|year=1994|url=}}</ref>，意味着其密度函数在大 <math>x</math>时衰减为 <math>x^{-1-\alpha}</math>。为确保适应度的必要正性，指数需在 <math>\alpha \in (0,1)</math>范围内，这导致适应度的均值（及所有更高阶矩）发散。在此范围内，唯一已知的 <math>\alpha</math>-稳定分布为Lévy分布（ <math>\alpha = 1/2</math>），但对于任意 <math>\alpha</math>值，人们都能推导出严格结果，且这些结果基本与 <math>\alpha</math>无关<ref name="Avena_inhomogeneous_2022">{{cite journal|author1=Avena, L.|author2=Garlaschelli, D.|author3=Hazra, R. S.|author4=Lalli, M.|title=Inhomogeneous random graphs with infinite-mean fitness variables|journal=Preprint at arXiv|year=2022|url=}}</ref>。若将节点聚集成大小相等的块，适应度将保持相同的密度，仅需对全局参数进行重新缩放。在退火变体中，多尺度模型能生成任意大的网络，其性质确实可在节点数量发散的渐近极限下研究<ref name="Avena_inhomogeneous_2022">{{cite journal|author1=Avena, L.|author2=Garlaschelli, D.|author3=Hazra, R. S.|author4=Lalli, M.|title=Inhomogeneous random graphs with infinite-mean fitness variables|journal=Preprint at arXiv|year=2022|url=}}</ref>。

适应度的无穷均值的特性使得退火多尺度模型的期望拓扑性质与具有有限均值适应度的类似模型产生的性质大不相同。特别地，人们能严格证明[137,138]，期望度分布 <math>P(k)</math>具有普适的幂律尾衰减 <math>k^{-2}</math>，与 <math>\alpha</math>值无关。对于聚合到 <math>N_\ell</math>个节点的层次 <math>\ell</math>，若 <math>\delta \sim N_\ell^{-1/\alpha}</math>，衰减表现为纯幂律[138]；对于更粗粒化的聚合，分布尾部会出现依赖密度的截断[137]。值得注意的是，退火模型展示了许多现实网络特性，包括衰减的同配性轮廓、在稀疏（密度消失）状态下消失的全局聚类系数，以及不消失的局部聚类系数。在其他稀疏边独立模型中，除非假设它们依赖度量距离，否则不会出现不消失的局部聚类系数。因此，无穷均值适应度即使无几何结构也能生成正局部聚类系数的发现，成为退火多尺度模型的重要洞见。

适应度的无穷均值的特性使得退火多尺度模型的期望拓扑性质与具有有限均值适应度的类似模型产生的性质大不相同。特别地，人们能严格证明<ref name="Garuccio_multiscale_2023">{{cite journal|author1=Garuccio, E.|author2=Lalli, M.|author3=Garlaschelli, D.|title=Multiscale network renormalization: scale-invariance without geometry|journal=Phys. Rev. Res.|year=2023|volume=5|url=}}</ref><ref name="Avena_inhomogeneous_2022">{{cite journal|author1=Avena, L.|author2=Garlaschelli, D.|author3=Hazra, R. S.|author4=Lalli, M.|title=Inhomogeneous random graphs with infinite-mean fitness variables|journal=Preprint at arXiv|year=2022|url=}}</ref>，期望度分布 <math>P(k)</math>具有普适的幂律尾衰减 <math>k^{-2}</math>，与 <math>\alpha</math>值无关。对于聚合到 <math>N_\ell</math>个节点的层次 <math>\ell</math>，若 <math>\delta \sim N_\ell^{-1/\alpha}</math>，衰减表现为纯幂律<ref name="Avena_inhomogeneous_2022">{{cite journal|author1=Avena, L.|author2=Garlaschelli, D.|author3=Hazra, R. S.|author4=Lalli, M.|title=Inhomogeneous random graphs with infinite-mean fitness variables|journal=Preprint at arXiv|year=2022|url=}}</ref>；对于更粗粒化的聚合，分布尾部会出现依赖密度的截断<ref name="Garuccio_multiscale_2023">{{cite journal|author1=Garuccio, E.|author2=Lalli, M.|author3=Garlaschelli, D.|title=Multiscale network renormalization: scale-invariance without geometry|journal=Phys. Rev. Res.|year=2023|volume=5|url=}}</ref>。值得注意的是，退火模型展示了许多现实网络特性，包括衰减的同配性轮廓、在稀疏（密度消失）状态下消失的全局聚类系数，以及不消失的局部聚类系数。在其他稀疏边独立模型中，除非假设它们依赖度量距离，否则不会出现不消失的局部聚类系数。因此，无穷均值适应度即使无几何结构也能生成正局部聚类系数的发现，成为退火多尺度模型的重要洞见。

最后，由于 <math>\alpha</math>-稳定随机变量具有无限可分性（即它们可表示为来自同一家族的任意数量独立同分布（i.i.d.）随机变量之和），在退火方法中，人们能将节点无限细分为子节点，每个子节点拥有各自的i.i.d.适应度。这意味着在此情况下，重整化流不仅定义了一个自底向上的半群，还定义了一个双向进行的群[137]。一个公开挑战在于，如何将模型这一引人注目的理论特性转化为实用工具，以细化只能在粗粒化水平观察的现实网络，因为现实网络中的节点未必具有 <math>\alpha</math>-稳定变量的特性。

最后，由于 <math>\alpha</math>-稳定随机变量具有无限可分性（即它们可表示为来自同一家族的任意数量独立同分布（i.i.d.）随机变量之和），在退火方法中，人们能将节点无限细分为子节点，每个子节点拥有各自的i.i.d.适应度。这意味着在此情况下，重整化流不仅定义了一个自底向上的半群，还定义了一个双向进行的群<ref name="Garuccio_multiscale_2023">{{cite journal|author1=Garuccio, E.|author2=Lalli, M.|author3=Garlaschelli, D.|title=Multiscale network renormalization: scale-invariance without geometry|journal=Phys. Rev. Res.|year=2023|volume=5|url=}}</ref>。一个公开挑战在于，如何将模型这一引人注目的理论特性转化为实用工具，以细化只能在粗粒化水平观察的现实网络，因为现实网络中的节点未必具有 <math>\alpha</math>-稳定变量的特性。

== 展望 ==

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