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→实空间中的拉普拉斯重整化群
需注意 <math>\zeta^{(0)}(\tau = 0)</math>是 <math>N_0 \times N_0</math>的单位矩阵，且对所有 <math>i_0, j_0</math>有 <math>\zeta_{i_0 j_0}^{(0)}(\tau \to \infty) = 1</math>。对固定的 <math>\tau^* > 0</math>，矩阵 <math>\zeta^{(0)}(\tau^*)</math>可视为原网络的超图的邻接矩阵，其包含 <math>N_1</math>个在尺度 <math>\tau^*</math>上通过扩散连接的连通分支。此过程将原来的 <math>N_0</math>个节点划分为 <math>N_1 < N_0</math>个超节点（图2a）。 <math>\tau^*</math>越大，连通分支数量越少且每个连通分支的规模越大。 <math>\tau^* \to \infty</math>意味着仅存在单一分支，也就是说，因均匀扩散场最终所有网络节点均连接在一起。基于方程(3)的粗粒化加权邻接矩阵 <math>W^{(1)}</math>可通过定义超节点间的加权超边来构造，其权重等于连接两对应细尺度簇的微边权重经适当归一化后的总和（图2b）。亦可采用统计物理粗粒化中的一致性裁剪方法获取二值邻接矩阵 <math>A^{(1)}</math>（例如通过方程(1)）。整个过程可迭代执行以定义更高层级 <math>\ell > 1</math>（图2c,d）。
需注意 <math>\zeta^{(0)}(\tau = 0)</math>是 <math>N_0 \times N_0</math>的单位矩阵，且对所有 <math>i_0, j_0</math>有 <math>\zeta_{i_0 j_0}^{(0)}(\tau \to \infty) = 1</math>。对固定的 <math>\tau^* > 0</math>，矩阵 <math>\zeta^{(0)}(\tau^*)</math>可视为原网络的超图的邻接矩阵，其包含 <math>N_1</math>个在尺度 <math>\tau^*</math>上通过扩散连接的连通分支。此过程将原来的 <math>N_0</math>个节点划分为 <math>N_1 < N_0</math>个超节点（图2a）。 <math>\tau^*</math>越大，连通分支数量越少且每个连通分支的规模越大。 <math>\tau^* \to \infty</math>意味着仅存在单一分支，也就是说，因均匀扩散场最终所有网络节点均连接在一起。基于方程(3)的粗粒化加权邻接矩阵 <math>W^{(1)}</math>可通过定义超节点间的加权超边来构造，其权重等于连接两对应细尺度簇的微边权重经适当归一化后的总和（图2b）。亦可采用统计物理粗粒化中的一致性裁剪方法获取二值邻接矩阵 <math>A^{(1)}</math>（例如通过方程(1)）。整个过程可迭代执行以定义更高层级 <math>\ell > 1</math>（图2c,d）。
[[文件:图2 实空间中的拉普拉斯网络重整化方法的构造.png|800×361像素px|无框|左|图2 实空间中的拉普拉斯网络重整化方法的构造]]
[[文件:图2 实空间中的拉普拉斯网络重整化方法的构造.png|800×361像素px|无框|左|图2 实空间中的拉普拉斯网络重整化方法的构造]]
图2 实空间中的拉普拉斯网络重整化方法的构造。a. 底层 ( <math>\ell = 0</math>) 表示原始网络 <math>\mathcal{A}^{(0)}</math>（此处为 Barabási-Albert 网络，通过每次添加一个带 <math>m = 1</math> 条连接的节点演化而成，最终规模为 <math>N_0 = 24</math> 个节点），上层展示扩散时间尺度 <math>\tau^* = 1.96</math> 对应的划分 <math>\Omega_0</math>。不同颜色标识 <math>N_1</math> 个 Kadanoff 超节点。 b. 基于 <math>\Omega_0</math>，每个块被聚合为单个超节点 <math>i</math>（ <math>i = 1, \cdots, N_1</math>），保留与原节点连接的边，从而在下一层级 <math>\ell = 1</math> 构建粗粒化网络 <math>\mathcal{A}^{(1)}</math>。 c. 实空间拉普拉斯重整化群（LRG）过程的三个步骤。 d. 随机树的 LRG 粗粒化。图转载自文献<ref name="Caldarelli_heterogeneous_2024">{{cite journal|author1=Caldarelli, G.|author2=Gabrielli, A.|author3=Gili, T.|author4=Villegas, P.|title=Laplacian renormalization group: an introduction to heterogeneous coarse-graining|journal=J. Stat. Mech.|year=2024|url=}}</ref>，遵循 CCBY 4.0 协议。
图2 实空间中的拉普拉斯网络重整化方法的构造。a. 底层 ( <math>\ell = 0</math>) 表示原始网络 <math>\mathcal{A}^{(0)}</math>（此处为 Barabási-Albert 网络，通过每次添加一个带 <math>m = 1</math> 条连接的节点演化而成，最终规模为 <math>N_0 = 24</math> 个节点），上层展示扩散时间尺度 <math>\tau^* = 1.96</math> 对应的划分 <math>\Omega_0</math>。不同颜色标识 <math>N_1</math> 个 Kadanoff 超节点。 b. 基于 <math>\Omega_0</math>，每个块被聚合为单个超节点 <math>i</math>（ <math>i = 1, \cdots, N_1</math>），保留与原节点连接的边，从而在下一层级 <math>\ell = 1</math> 构建粗粒化网络 <math>\mathcal{A}^{(1)}</math>。 c. 实空间拉普拉斯重整化群（LRG）过程的三个步骤。 d. 随机树的 LRG 粗粒化。图转载自文献<ref name="Caldarelli_heterogeneous_2024">{{cite journal|author1=Caldarelli, G.|author2=Gabrielli, A.|author3=Gili, T.|author4=Villegas, P.|title=Laplacian renormalization group: an introduction to heterogeneous coarse-graining|journal=J. Stat. Mech.|year=2024|url=}}</ref>，遵循 CCBY 4.0 协议。