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[[文件:D26cc9a6-ef2d-4022-8c1b-8080bbc9e67b.png|640px|无框|左|图1 真实网络上几何重整化的直接与逆向方法及其结果]]
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图1 真实网络上几何重整化的直接与逆向方法及其结果。 a. 几何重整化（GR）变换示意图。在层级 <math>\ell = 0</math> 中，沿相似性圆定义 <math>r = 2</math> 个连续节点组成的非重叠蓝色块，从而将原 <math>N_0</math> 个节点划分为 <math>N_1 = N_0/r</math> 个块，形成分区 <math>\Omega_0</math>。这些块被粗粒化为层级 <math>\ell = 1</math> 中的超节点，每个超节点的角坐标由其 <math>\ell = 0</math> 层构成节点所在区域确定。如方程(2)所述连接 <math>\ell = 1</math> 层的超节点，该过程可迭代生成 <math>\ell = 2</math> 层。由于半群性质， <math>\ell = 2</math> 层亦可直接通过 <math>r = 4</math> 的块从 <math>\ell = 0</math> 层生成。b. GR 复现人脑连接组的多尺度连通结构。基于解剖数据重建五级长度尺度的多尺度层级表示（上图）。各尺度 <math>\ell</math> 下连接组的拓扑特性（符号）与基于最高分辨率几何映射的 GR 预测（曲线）高度吻合（下图）。从左至右依次为：互补累积度分布 <math>P_c(k_{\text{res}})</math>、聚类系数 <math>\bar{c}(k_{\text{res}})</math>、归一化最近邻平均度 <math>\bar k_{\text{nn}} (k_{\text{res}}) = \bar k_{\text{nn}}(k_\text{res}) \langle k \rangle/\langle k \rangle^2</math> 及富俱乐部系数 <math>r(k_{\text{res}})</math>。计算中采用重整化度 <math>k_{\text{res}} = k/\langle k \rangle</math> 以消除各层级平均度差异的影响。 c. 几何分支生长过程（GBG）以自相似方式演化网络。d. GBG 是 GR 的统计逆过程：对互联网重整化层级应用 GBG 可恢复原始网络的统计等效结构；反之，对 GBG 生成的人体代谢网络替代体应用 GR 可复原原始架构。e. GR 与 GBG 的结合为单实例真实网络的有限尺寸标度研究提供方法，可数值估算临界指数。以互联网链路随机失效的键逾渗模拟为例，网络尺寸 <math>N</math>、临界键占据概率 <math>p_c</math> 及磁化率最大值 <math>\xi_{\text{max}}</math> 均符合幂律关系（黑色符号为原始网络数据）。GBG 与 GR 壳层参数为分支率 <math>b = 2</math>、块尺寸 <math>r = 2</math>，结果表明互联网图存在逾渗阈值消失现象，符合无标度网络预期。图a改编自文献<ref name="Zheng_Geometric_renormalization_weighted">{{cite journal|author1=Zheng M|author2=García-Pérez G|author3=Boguñá M|author4=Serrano M. Á.|title=Geometric renormalization of weighted networks|journal=Commun. Phys.|year=2024|volume=7|url=}}</ref>（Springer Nature Limited）；图b转载自文献<ref name="Zheng_Geometric_renormalization_connectome">{{cite journal|author1=Zheng M|author2=Allard A|author3=Hagmann P|author4=Alemán-Gómez Y|author5=Serrano M. Á.|title=Geometric renormalization unravels self-similarity of the multiscale human connectome|journal=Proc. Natl Acad. Sci. USA|year=2020|volume=117|url=}}</ref>（PNAS）；图c、d、e改编自文献<ref name="Zheng_Geometric_branching_growth">{{cite journal|author1=Zheng M|author2=García-Pérez G|author3=Boguñá M|author4=Serrano M. Á.|title=Scaling up real networks by geometric branching growth|journal=Proc. Natl Acad. Sci. USA|year=2021|url=}}</ref>（PNAS）。
图1 真实网络上几何重整化的直接与逆向方法及其结果。 a. 几何重整化（GR）变换示意图。在层级 <math>\ell = 0</math> 中，沿相似性圆定义 <math>r = 2</math> 个连续节点组成的非重叠蓝色块，从而将原 <math>N_0</math> 个节点划分为 <math>N_1 = N_0/r</math> 个块，形成分区 <math>\Omega_0</math>。这些块被粗粒化为层级 <math>\ell = 1</math> 中的超节点，每个超节点的角坐标由其 <math>\ell = 0</math> 层构成节点所在区域确定。如方程(2)所述连接 <math>\ell = 1</math> 层的超节点，该过程可迭代生成 <math>\ell = 2</math> 层。由于半群性质， <math>\ell = 2</math> 层亦可直接通过 <math>r = 4</math> 的块从 <math>\ell = 0</math> 层生成。b. GR 复现人脑连接组的多尺度连通结构。基于解剖数据重建五级长度尺度的多尺度层级表示（上图）。各尺度 <math>\ell</math> 下连接组的拓扑特性（符号）与基于最高分辨率几何映射的 GR 预测（曲线）高度吻合（下图）。从左至右依次为：互补累积度分布 <math>P_c(k_{\text{res}})</math>、聚类系数 <math>\bar{c}(k_{\text{res}})</math>、归一化最近邻平均度 <math>\bar k_{\text{nn}} (k_{\text{res}}) = \bar k_{\text{nn}}(k_\text{res}) \langle k \rangle/\langle k \rangle^2</math> 及富俱乐部系数 <math>r(k_{\text{res}})</math>。计算中采用重整化度 <math>k_{\text{res}} = k/\langle k \rangle</math> 以消除各层级平均度差异的影响。 c. 几何分支生长过程（GBG）以自相似方式演化网络。d. GBG 是 GR 的统计逆过程：对互联网重整化层级应用 GBG 可恢复原始网络的统计等效结构；反之，对 GBG 生成的人体代谢网络替代体应用 GR 可复原原始架构。e. GR 与 GBG 的结合为单实例真实网络的有限尺寸标度研究提供方法，可数值估算临界指数。以互联网链路随机失效的键逾渗模拟为例，网络尺寸 <math>N</math>、临界键占据概率 <math>p_c</math> 及磁化率最大值 <math>\xi_{\text{max}}</math> 均符合幂律关系（黑色符号为原始网络数据）。GBG 与 GR 壳层参数为分支率 <math>b = 2</math>、块尺寸 <math>r = 2</math>，结果表明互联网图存在逾渗阈值消失现象，符合无标度网络预期。图a改编自文献<ref name="Zheng_Geometric_renormalization_weighted">{{cite journal|author1=Zheng M|author2=García-Pérez G|author3=Boguñá M|author4=Serrano M. Á.|title=Geometric renormalization of weighted networks|journal=Commun. Phys.|year=2024|volume=7|url=}}</ref>（Springer Nature Limited）；图b转载自文献<ref name="Zheng_Geometric_renormalization_connectome">{{cite journal|author1=Zheng M|author2=Allard A|author3=Hagmann P|author4=Alemán-Gómez Y|author5=Serrano M. Á.|title=Geometric renormalization unravels self-similarity of the multiscale human connectome|journal=Proc. Natl Acad. Sci. USA|year=2020|volume=117|url=}}</ref>（PNAS）；图c、d、e改编自文献<ref name="Zheng_Geometric_branching_growth">{{cite journal|author1=Zheng M|author2=García-Pérez G|author3=Boguñá M|author4=Serrano M. Á.|title=Scaling up real networks by geometric branching growth|journal=Proc. Natl Acad. Sci. USA|year=2021|url=}}</ref>（PNAS）。
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=== 几何重整化技术 ===
=== 几何重整化技术 ===