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* 余循环性质 / Cocycle Property： <math>\phi(t+s, \omega, x) = \phi(t, \theta^s \omega, \phi(s, \omega, x)) </math>

* 余循环性质 / Cocycle Property： <math>\phi(t+s, \omega, x) = \phi(t, \theta^s \omega, \phi(s, \omega, x)) </math>

对马尔科夫链来说，这个映射 <math>\phi(1, \omega, x)</math> 就是根据单步转移函数 <math>T: X \times W \to X</math>，即接收当前状态 <math>x</math> 和一个随机数 <math>w</math>，根据 TPM 的规则输出下一个状态。

对马尔科夫链来说，这个映射 <math>\phi(1, \omega, x)</math> 就是一个单步转移函数 <math>T: X \times W \to X</math>，即接收当前状态 <math>x</math> 和一个随机数 <math>w</math>，根据 TPM 的规则输出下一个状态。

* '''不变性'''：假设在 <math>\omega</math> 下 <math>A(\omega) = C_j</math>。根据周期性，<math>(1, \omega, C_j) = C_{(j+1) mod d}</math>。而此时新的噪音是 <math>\theta \omega</math>，其对应的吸引子形态正是 <math>A(\theta \omega) = C_{(j+1) mod d}</math>。因此 <math>\phi(1, \omega, A(\omega)) = A(\theta \omega)</math> 成立。

* '''不变性'''：假设在 <math>\omega</math> 下 <math>A(\omega) = C_j</math>。根据周期性，<math>(1, \omega, C_j) = C_{(j+1) mod d}</math>。而此时新的噪音是 <math>\theta \omega</math>，其对应的吸引子形态正是 <math>A(\theta \omega) = C_{(j+1) mod d}</math>。因此 <math>\phi(1, \omega, A(\omega)) = A(\theta \omega)</math> 成立。

* '''稳态分布'''：唯一的平稳分布 <math>\pi</math> 描述了在整个循环周期内，系统在每个状态的平均访问频率。尽管在任何时刻 <math>k</math>，概率分布都集中在某一个 <math>C_j</math> 上，但时间平均后会收敛到 <math>\pi_i</math>。

* '''稳态分布'''：唯一的平稳分布 <math>\pi</math> 描述了在整个循环周期内，系统在每个状态的平均访问频率。尽管在任何时刻 <math>k</math>，概率分布都集中在某一个 <math>C_j</math> 上，但时间平均后会收敛到 <math>\pi_i</math>。

=划分方法=

=划分方法=