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'''Logistic映射'''，又称单峰映象，是一个二次多项式映射(递归关系)，经常作为典型范例来说明复杂的[[混沌]]现象是如何从非常简单的[[非线性动力学]]方程中产生的。

'''Logistic映射'''，又称单峰映象，是一个二次多项式映射(递归关系)，经常作为典型范例来说明复杂的[[混沌]]现象是如何从非常简单的[[非线性动力学]]方程中产生的。

Logistic映射的数学表达式表示为:

Logistic映射的数学表达式为:

:<math>

:<math>

x(t+1)=\mu x(t)(1-x(t))

x(t+1)=\mu x(t)(1-x(t))

</math>

</math>

其中，t为迭代时间步，对于任意的t，<math>x(t)\in [0,1]</math>，<math>\mu</math>为一可调参数，为了保证映射得到的<math>x(t)</math>始终位于[0,1]内，则<math>\mu\in [0,4]</math>。<math>x(t)</math>为在t时刻种群占最大可能种群规模的比例（即现有人口数与最大可能人口数的比率）。当变化不同的参数<math>\mu</math>时，该方程会展现出不同的动力学极限行为（即当t趋于无穷大，<math>x(t)</math>的变化情况），包括：稳定点（即最终<math>x(t)</math>始终为同一个数值）、周期（<math>x(t)</math>会在2个或者多个数值之间跳跃)、以及混沌（<math>x(t)</math>的终态不会重复，而会等概率地取遍某区间）。当<math>μ</math>超过[1,4]时，就会发生混沌现象。正是因为这个简单的方程蕴涵了丰富的非线性行为，因而它成为了人们认识复杂的非线性动力学现象的代表模型。

其中，<math>t</math>为迭代时间步，对于任意的<math>t</math>，<math>x(t)\in [0,1]</math>，<math>\mu</math>为一可调参数，为了保证映射得到的<math>x(t)</math>始终位于[0,1]内，则<math>\mu\in [0,4]</math>。<math>x(t)</math>可以代表<math>t</math>时刻某类生物种群占最大可能种群规模的比例（即现有人口数与最大可能人口数的比率）。因此，该方程可以刻画一类生物种群在环境受限的情景下的生长情况。

 

当变化不同的参数<math>\mu</math>时，该方程会展现出不同的动力学极限行为（即当t趋于无穷大，<math>x(t)</math>的变化情况），包括：[[不动点]]（即最终<math>x(t)</math>始终为同一个数值）、[[周期震荡]]（<math>x(t)</math>会在2个或者多个数值之间跳跃)、以及[[混沌]]（<math>x(t)</math>的终态不会重复，而会等概率地取遍某区间）。当<math>\mu</math>超过3.65时，就会发生混沌现象。正是因为这个简单的方程蕴涵了丰富的[[非线性]]行为，因而它成为了人们认识复杂的[[非线性动力学]]现象的代表模型。