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→Logistic生长方程
==Logistic生长方程==
==Logistic生长方程==
事实上，{{EquationNote|(1)}}式是更早由比利时数学家[[Pierre François Verhulst]]提出的[[logistic生长方程]]的离散版本。
事实上，({{EquationNote|1}})式是更早时间由比利时数学家皮埃尔·弗朗索瓦·维尔胡斯特[[Pierre François Verhulst]]提出的[[logistic生长方程]]的离散版本。
早在1838至1847年间，Verhulst发表了三篇系列论文，并发展了有关[[Logistic函数]]（logistic function）的研究成果，这些工作基于他在19世纪30年代中期在Adolphe Quetelet指导下进行的人口增长建模研究；更多细节见[[Logistic函数]]词条。1838年，Verhulst在文献[]中提出了[[Logistic生长方程]]，即：
:<math>
\frac{dN}{dt}=r N - \alpha N^2
</math>
其中[math]N(t)[/math]表示种群中时刻t的个体数量，[math]r[/math]为种群的内禀增长率，[math]\alpha[/math]为密度依赖的拥挤效应（亦称种内竞争）。在这个方程中，种群数量的[[不动点]]（有时称为环境承载量K）为：[math]N^*=\frac{r}{\alpha}[/math]。在Verhulst(1845)的文献中，他将该方程的解称为[[Logistic曲线]]。后来，Raymond Pearl和Lowell Reed对该方程进行了改进，引入了一个预设的平衡量[math]K[/math]，于是， [[Logistic生长方程]]拥有了广为流传的形式：
{{NumBlk|:|
<math>
\frac{dN}{dt}=r N\left(1-\frac{N}{K}\right)
</math>
|{{EquationRef|2}}}}
这便是连续版本的[[Logistic生长方程]]，其中[math]K[/math]也可以解释为环境所能支持的最大个体数。可以直接积分求得该方程的解析解为：
:<math>
N(t)=\frac{K}{1+CKe^{-rt}}
</math>
其中[math]C=1/N(0)-1/K[/math]，这里[math]N(0)[/math]为种群的初始规模。
该非线性微分方程模拟了两种种群增长中的情形:
*当人口规模很小时，人口将以与当前人口成比例的速度增长进行繁殖。
*当人口规模达到了环境的饱和容量时，人口将遭受限制，这体现为与密度有关的死亡率 ，其增长率将以与环境的”承受能力”减去当前人口所得值成正比的速度下降
[[File:logistic .png|400px|thumb|right|以美国人口为例，使用Logistic模型来拟合1800年后的人口数据：<math>x(t)=\frac{K}{1+(\frac{K}{x_0}-1)e^{-rt}}</math>，其中<math>K</math>为最大容纳量]]
该方程可以模拟人口种群在受限环境下的生长行为，例如右图展示的就是利用该方程的解拟合美国人口的增长情况。
不难看出，将方程({{EquationNote|2}})中的变量[math]N(t)[/math]除以[math]K[/math]定义为新的密度变量[math]x(t)[/math]，于是({{EquationNote|2}})式变为：[math]dx/dt=r x(t)\left(1-x(t)\right)[/math]。将导数进行时间步的离散化，即可以得到离散版本的({{EquationNote|1}})式。
然而，Logistic映射作为一种人口统计模型，存在着由特殊参数所导致的混沌现象，这种现象是不会在连续版本的({{EquationNote|2}})式中出现的。同时，该模型可以用来模拟生物种群的生长行为，所以Logistic映射也称为“虫口模型”。其中<math>x(t)</math>可以解释为在t时刻种群占最大可能种群规模的比例。
==在“混沌”被命名前==
==在“混沌”被命名前==