更改

图5中所示为一次模拟试验运行了20000个周期，<math>x(t)</math>在这不同时刻的值在[0,1]区间上的累计概率分布图。图形中的平台部分表示取值概率基本为0。也就是说<math>x(t)</math>的取值基本集中在0.3~0.6和0.8~0.9这两个区间里。而往右上按照直线倾斜的部分表示<math>x(t)</math>在该区间近似呈现均匀分布。由此可见，这个时候迭代系统表现出随机性，然而整个迭代方程都是确定性的，因此认为产生了确定性的混沌现象。

图5中所示为一次模拟试验运行了20000个周期，<math>x(t)</math>在这不同时刻的值在[0,1]区间上的累计概率分布图。图形中的平台部分表示取值概率基本为0。也就是说<math>x(t)</math>的取值基本集中在0.3~0.6和0.8~0.9这两个区间里。而往右上按照直线倾斜的部分表示<math>x(t)</math>在该区间近似呈现均匀分布。由此可见，这个时候迭代系统表现出随机性，然而整个迭代方程都是确定性的，因此认为产生了确定性的混沌现象。

===<math>3.6<μ<4</math>===

===<math>3.56995<μ<4</math>===

[[File:450px-Logistic_map.gif|400px|thumb|图7 不同的初始条件下关于μ的函数 （横轴的r为μ）]]

[[File:450px-Logistic_map.gif|400px|thumb|图7 不同的初始条件下关于μ的函数 （横轴的r为μ）]]

当参数<math>\mu</math>从大约3.56995变化到3.82843时，Logistic映射的混沌行为的发展过程有时被称为the Pomeau–Manneville scenario，其特征是周期性(层流)阶段被非周期性行为突然打断。The Pomeau–Manneville scenario在半导体器件中有应用。<ref name="carson82">{{cite journal|first1=Carson |last1=Jeffries|first2=José |last2=Pérez |journal=Physical Review A|year=1982|title=Observation of a Pomeau–Manneville intermittent route to chaos in a nonlinear oscillator|volume=26 |issue=4 |pages=2117–2122|doi=10.1103/PhysRevA.26.2117|bibcode = 1982PhRvA..26.2117J |url=http://www.escholarship.org/uc/item/2dm2k8mm}}</ref> 此时函数值在5个值之间来回波动;所有的振荡周期都依赖于<math>\mu</math>。带参数<math>c</math>的倍周期是由一系列子序列组成的<math>\mu</math>值范围。第k个子区间包含了<math>\mu</math>的值，其中有一个<math>2^{k}c</math>的稳定周期(一个周期吸引了一组单位测度的初始点)。这个子范围的序列称为谐波级联cascade of harmonics。<ref name="May">{{cite journal | first = R. M. |last=May | title = Simple mathematical models with very complicated dynamics | journal = Nature | year = 1976 | volume = 261 | issue = 5560 | pages = 459–67 | doi = 10.1038/261459a0 | pmid = 934280|bibcode = 1976Natur.261..459M | hdl = 10338.dmlcz/104555 | hdl-access = free }}</ref> 在一个稳定周期为<math>2^{k^*}c</math>的子范围内，所有<math>k < k^*</math>都存在周期为<math>2^{k}c</math>的不稳定周期。在无限子区间序列末端的<math>\mu</math>值称为谐波级联的积累点。随着<math>\mu</math>的升高，出现了一系列具有不同<math>c</math>值的新窗口。第一个是<math>c</math> = 1;所有包含奇数<math>c</math>的后续窗口都以<math>c</math>的递减顺序出现，以任意大的<math>c</math>开始。<ref name="May" /><ref>{{cite journal |last1=Baumol |first1=William J. |last2=Benhabib |first2=Jess |title=Chaos: Significance, Mechanism, and Economic Applications |journal=Journal of Economic Perspectives]] |date=February 1989 |volume=3 |issue=1 |pages=77–105 |doi=10.1257/jep.3.1.77 }}</ref>

当参数<math>\mu</math>从大约3.56995变化到3.82843时，Logistic映射的混沌行为的发展过程有时被称为the Pomeau–Manneville scenario，其特征是周期性(层流)阶段被非周期性行为突然打断。The Pomeau–Manneville scenario在半导体器件中有应用。<ref name="carson82">{{cite journal|first1=Carson |last1=Jeffries|first2=José |last2=Pérez |journal=Physical Review A|year=1982|title=Observation of a Pomeau–Manneville intermittent route to chaos in a nonlinear oscillator|volume=26 |issue=4 |pages=2117–2122|doi=10.1103/PhysRevA.26.2117|bibcode = 1982PhRvA..26.2117J |url=http://www.escholarship.org/uc/item/2dm2k8mm}}</ref> 此时函数值在5个值之间来回波动;所有的振荡周期都依赖于<math>\mu</math>。

当<math>\mu</math>持续增大的时候，迭代运行的轨道就会在周期类型和混沌类型之间来回切换。直到<math>\mu</math>=4，系统处于完全混沌的状态，最终的长期行为会在[0,1]区间上均匀分布。

在另一个稳定周期为<math>2^{k^*}c</math>的子范围内，所有<math>k < k^*</math>都存在周期为<math>2^{k}c</math>的不稳定周期。在无限子区间序列末端的<math>\mu</math>值称为谐波级联的积累点。随着<math>\mu</math>的升高，出现了一系列具有不同<math>c</math>值的新窗口。第一个是<math>c= 1</math>;所有包含奇数<math>c</math>的后续窗口都以<math>c</math>的递减顺序出现，以任意大的<math>c</math>开始。<ref name="May" /><ref>{{cite journal |last1=Baumol |first1=William J. |last2=Benhabib |first2=Jess |title=Chaos: Significance, Mechanism, and Economic Applications |journal=Journal of Economic Perspectives]] |date=February 1989 |volume=3 |issue=1 |pages=77–105 |doi=10.1257/jep.3.1.77 }}</ref>

===<math>μ = 4</math>===

===<math>μ = 4</math>===