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→约瑟夫森方程
其中常数 <math>K</math> 是该结的特征量。为求解上述方程，先计算超导体 A 中序参量的时间导数：
其中常数 <math>K</math> 是该结的特征量。为求解上述方程，先计算超导体 A 中序参量的时间导数：
<math display="block">\frac{\partial}{\partial t} (\sqrt{n_A}e^{i\phi_A})=\dot \sqrt{n_A}e^{i\phi_A}+\sqrt{n_A} (i \dot \phi_A e^{i\phi_A})=(\dot\sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A) e^{i\phi_A} ,</math>
:<math>\frac{\partial}{\partial t} (\sqrt{n_A}e^{i\phi_A})=\dot \sqrt{n_A}e^{i\phi_A}+\sqrt{n_A} (i \dot \phi_A e^{i\phi_A})=(\dot\sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A) e^{i\phi_A} ,</math>
因此由薛定谔方程得到：
因此由薛定谔方程得到：
<math display="block">(\dot \sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A) e^{i\phi_A}
:<math>(\dot \sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A) e^{i\phi_A}
=\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}e^{i\phi_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\phi_B}).</math>
=\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}e^{i\phi_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\phi_B}).</math>
跨结的金兹堡–朗道序参量的相位差称为'''约瑟夫森相位'''：
跨结的金兹堡–朗道序参量的相位差称为'''约瑟夫森相位'''：
<math display="block">\varphi=\phi_B-\phi_A.</math> 因而薛定谔方程可改写为：
:<math>\varphi=\phi_B-\phi_A.</math> 因而薛定谔方程可改写为：
<math display="block">\dot \sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
:<math>\dot \sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
=\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}),</math>
=\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}),</math>
其[[复共轭]]方程为：
其[[复共轭]]方程为：
<math display="block">\dot \sqrt{n_A}- i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
:<math>\dot \sqrt{n_A}- i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
=\frac{1}{-i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi}).</math>
=\frac{1}{-i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi}).</math>
将两式相加以消去 <math>\dot \phi_A</math>：
将两式相加以消去 <math>\dot \phi_A</math>：
<math display="block">2\dot \sqrt{n_A}=\frac{1}{i\hbar}(K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}-K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi})=\frac{K\sqrt{n_B}}{\hbar} \cdot 2\sin \varphi.</math>
:<math>2\dot \sqrt{n_A}=\frac{1}{i\hbar}(K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}-K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi})=\frac{K\sqrt{n_B}}{\hbar} \cdot 2\sin \varphi.</math>
由于 <math>\dot \sqrt{n_A}=\frac{\dot n_A}{2\sqrt{n_A}}</math>，得到：
由于 <math>\dot \sqrt{n_A}=\frac{\dot n_A}{2\sqrt{n_A}}</math>，得到：
<math display="block">\dot n_A=\frac{2K\sqrt{n_An_B}}{\hbar}\sin \varphi.</math>
:<math>\dot n_A=\frac{2K\sqrt{n_An_B}}{\hbar}\sin \varphi.</math>
再将两式相减以消去 <math>\dot \sqrt{n_A}</math>：
再将两式相减以消去 <math>\dot \sqrt{n_A}</math>：
<math display="block">2i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
:<math>2i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
=\frac{1}{i\hbar}(2eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}+K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi}),</math>
=\frac{1}{i\hbar}(2eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}+K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi}),</math>
从而有：
从而有：
<math display="block">\dot \phi_A
:<math>\dot \phi_A
=-\frac{1}{\hbar}(eV+K\sqrt{\frac{n_B}{n_A}}\cos \varphi).</math>
=-\frac{1}{\hbar}(eV+K\sqrt{\frac{n_B}{n_A}}\cos \varphi).</math>
类似地，对超导体 B 可得：
类似地，对超导体 B 可得：
<math display="block">\dot n_B=-\frac{2K\sqrt{n_An_B}}{\hbar}\sin \varphi , \, \dot \phi_B
:<math>\dot n_B=-\frac{2K\sqrt{n_An_B}}{\hbar}\sin \varphi , \, \dot \phi_B
=\frac{1}{\hbar}(eV-K\sqrt{\frac{n_A}{n_B}}\cos \varphi). </math>
=\frac{1}{\hbar}(eV-K\sqrt{\frac{n_A}{n_B}}\cos \varphi). </math>
[[约瑟夫森常数]]定义为：
[[约瑟夫森常数]]定义为：
<math display="block">K_J=\frac{2 e}{h}\,, </math>
:<math>K_J=\frac{2 e}{h}\, </math>
其倒数为[[磁通量子]]：
其倒数为[[磁通量子]]：
<math display="block">\Phi_0=\frac{h}{2 e}=2 \pi \frac{\hbar}{2 e}\,. </math>
:<math>\Phi_0=\frac{h}{2 e}=2 \pi \frac{\hbar}{2 e}\,. </math>
超导相位演化方程可改写为：
超导相位演化方程可改写为：
<math display="block">\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 2 \pi [K_JV(t)] = \frac{2 \pi}{\Phi_0}V(t) \,. </math>
:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 2 \pi [K_JV(t)] = \frac{2 \pi}{\Phi_0}V(t) \,. </math>
若定义：
若定义：
<math display="block">\Phi=\Phi_0\frac{\varphi}{2 \pi}\,, </math>
:<math>\Phi=\Phi_0\frac{\varphi}{2 \pi}\,, </math>
则结两端的电压为：
则结两端的电压为：
<math display="block">V=\frac{\Phi_0}{2 \pi}\frac{\partial \varphi}{\partial t}=\frac{d\Phi}{dt}\,, </math>
:<math>V=\frac{\Phi_0}{2 \pi}\frac{\partial \varphi}{\partial t}=\frac{d\Phi}{dt}\,, </math>
这与[[法拉第电磁感应定律]]非常相似。但需注意，此电压并非源自磁能，因为在超导体内[[Meissner effect|不存在磁场]]；相反，它来自载流子（即库珀对）的动能。该现象也称为[[kinetic inductance|动能电感]]。
这与[[法拉第电磁感应定律]]非常相似。但需注意，此电压并非源自磁能，因为在超导体内[[Meissner effect|不存在磁场]]；相反，它来自载流子（即库珀对）的动能。该现象也称为[[kinetic inductance|动能电感]]。