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→约瑟夫森方程
因此由薛定谔方程得到：
因此由薛定谔方程得到：
:<math>(\dot \sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A) e^{i\phi_A}
:<math>(\dot{\sqrt{n_A}}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A) e^{i\phi_A}
=\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}e^{i\phi_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\phi_B}).</math>
=\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}e^{i\phi_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\phi_B}).</math>
:<math>\varphi=\phi_B-\phi_A.</math> 因而薛定谔方程可改写为：
:<math>\varphi=\phi_B-\phi_A.</math> 因而薛定谔方程可改写为：
:<math>\dot \sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
:<math>\dot{\sqrt{n_A}}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
=\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}),</math>
=\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}),</math>
其[[复共轭]]方程为：
其[[复共轭]]方程为：
:<math>\dot \sqrt{n_A}- i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
:<math>\dot{\sqrt{n_A}}- i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
=\frac{1}{-i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi}).</math>
=\frac{1}{-i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi}).</math>
将两式相加以消去 <math>\dot \phi_A</math>：
将两式相加以消去 <math>\dot \phi_A</math>：
:<math>2\dot \sqrt{n_A}=\frac{1}{i\hbar}(K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}-K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi})=\frac{K\sqrt{n_B}}{\hbar} \cdot 2\sin \varphi.</math>
:<math>2\dot{\sqrt{n_A}}=\frac{1}{i\hbar}(K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}-K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi})=\frac{K\sqrt{n_B}}{\hbar} \cdot 2\sin \varphi.</math>
由于 <math>\dot \sqrt{n_A}=\frac{\dot n_A}{2\sqrt{n_A}}</math>，得到：
由于 <math>\dot{\sqrt{n_A}}=\frac{\dot n_A}{2\sqrt{n_A}}</math>，得到：
:<math>\dot n_A=\frac{2K\sqrt{n_An_B}}{\hbar}\sin \varphi.</math>
:<math>\dot n_A=\frac{2K\sqrt{n_An_B}}{\hbar}\sin \varphi.</math>
再将两式相减以消去 <math>\dot \sqrt{n_A}</math>：
再将两式相减以消去 <math>\dot{\sqrt{n_A}}</math>：
:<math>2i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
:<math>2i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
注意到约瑟夫森相位的演化为 <math>\dot \varphi=\dot \phi_B-\dot \phi_A</math>，而[[charge carrier density|载流子密度]]的时间导数 <math>\dot n_A</math> 与电流 <math>I</math> 成正比，当 <math>n_A \approx n_B</math> 时，上述解给出'''约瑟夫森方程'''：<ref name="barone">{{Cite book |title=Physics and Applications of the Josephson Effect |last1=Barone |first1=A. |last2=Paterno |first2=G. |publisher=[[John Wiley & Sons]] |year=1982 |isbn=978-0-471-01469-0 |location=New York}}</ref>
注意到约瑟夫森相位的演化为 <math>\dot \varphi=\dot \phi_B-\dot \phi_A</math>，而[[charge carrier density|载流子密度]]的时间导数 <math>\dot n_A</math> 与电流 <math>I</math> 成正比，当 <math>n_A \approx n_B</math> 时，上述解给出'''约瑟夫森方程'''：<ref name="barone">{{Cite book |title=Physics and Applications of the Josephson Effect |last1=Barone |first1=A. |last2=Paterno |first2=G. |publisher=[[John Wiley & Sons]] |year=1982 |isbn=978-0-471-01469-0 |location=New York}}</ref>
{{equation|1=I(t) = I_c \sin (\varphi (t)) |2=1}}
{{NumBlk|:|
{{equation|1=\frac{\partial \varphi}{\partial t} = \frac{2 e V(t)}{\hbar} |2=2}}
<math>
I(t) = I_c \sin (\varphi (t))
</math>
|{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk|:|
<math>
\frac{\partial \varphi}{\partial t} = \frac{2 e V(t)}{\hbar}
</math>
|{{EquationRef|2}}}}
其中 <math>V(t)</math> 与 <math>I(t)</math> 分别是约瑟夫森结两端的电压与通过结的电流，<math>I_c</math> 为该结的参数，称为'''临界电流'''。式（1）称为'''第一约瑟夫森关系'''或'''弱连接电流—相位关系'''；式（2）称为'''第二约瑟夫森关系'''或'''超导相位演化方程'''。约瑟夫森结的临界电流取决于超导体的性质，也会受温度、外加磁场等环境因素影响。
其中 <math>V(t)</math> 与 <math>I(t)</math> 分别是约瑟夫森结两端的电压与通过结的电流，<math>I_c</math> 为该结的参数，称为'''临界电流'''。式（1）称为'''第一约瑟夫森关系'''或'''弱连接电流—相位关系'''；式（2）称为'''第二约瑟夫森关系'''或'''超导相位演化方程'''。约瑟夫森结的临界电流取决于超导体的性质，也会受温度、外加磁场等环境因素影响。