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第330行： − [[不同尺度之间的闭合性]]+ − 当研究跨尺度的粗粒化时，判断粗粒化方案的一个指标是，得出的宏观动力学是否能够独立反映微观动力学在宏观层面的演化行为，而不需要使用微观动力学的状态信息对其进行修正。也就是说，判断微观和宏观动力学之间是不是独立计算和演化的。+ − 这个问题由来已久，比如对于一个人类群体，既可以从社会学经济学角度解释系统的现象，也可以从生物学生理过程的层次去描述，还可以从分子尺度的物理学去描述。这些尺度上的各自规律可以独立成立，由此诞生了各个学科。这种分层次的现象一直被哲学家们用因果闭合或因果闭包的概念进行讨论。Anil Seth在他的动力学解耦<ref name=":23"> Barnett, L., & Seth, A. K. (2023). Dynamical independence: discovering emergent macroscopic processes in complex dynamical systems. Physical Review E, 108(1), 014304</ref>文章中认为，在一个复杂系统中，比如一个动物的身体，当宏观动力学（肢体的活动）能够自主演化，不需要回到微观动力学（细胞的活动）去提供预测信息的时候，我们就认为存在涌现。+ − 而Fernando E. Rosas等人的工作中<ref name="closure">Rosas, F. E., Geiger, B. C., Luppi, A. I., Seth, A. K., Polani, D., Gastpar, M., & Mediano, P. A. (2024). Software in the natural world: A computational approach to hierarchical emergence. arXiv preprint arXiv:2402.09090.</ref>研究了三种闭合方式：因果闭合、信息闭合和计算闭合，作为尺度间是否独立演化的指标。这里的闭合是指宏观尺度对微观尺度的闭合。当达到闭合时，即代表宏观尺度达到了某种程度上的‘独立演化’。 + − ===基础概念===+ − + − 词条的上一部分已经介绍过了[[计算力学]]中因果态的概念，为了与原文符号对应，我们重新提供因果态的定义。在一个时序系统中，我们想要有一个ϵ-machine（ϵ-机器），能够根据当前时间步的状态和历史记忆，来预测未来状态。+ − − 无论系统是确定的或概率生成的，当我们已知 <math>t</math> 时刻的状态和历史记忆 <math>\overleftarrow{X_t}=\{... , X_{t-2}, X_{t-1}, X_t\}</math> 时，我们能够预测未来状态的轨迹 <math>p(\overrightarrow{X}^L_t| \overleftarrow{X_t})</math>，其中<math>\overrightarrow{X}^L_t=\{X_{t+1}, X_{t+2}, ... , X_{t+L}\}</math>，简写成<math>\overrightarrow{X_t}</math>。 − − 不同时刻 <math>t</math> 和 <math>t'</math> 的状态和历史记忆虽然不完全一样，但是他们可能会导致同样的未来状态，<math>p(\overrightarrow{X_t}| \overleftarrow{X_t}) = p(\overrightarrow{X_t'}| \overleftarrow{X_t'}) </math>。所以，计算力学中把这些具有相同未来的 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 划为等价euqivalent的状态，即<math>\overleftarrow{x_t} \equiv \overleftarrow{x_{t'}}\ \ \text{iff}\ \ p(\overrightarrow{x_t}| \overleftarrow{x_t} ) = p(\overrightarrow{x_{t'}}|\overleftarrow{x_{t'}}) </math>，并定义因果态<math>E = \{E_t\}_{t \in \mathbb{N} }, E_t = \epsilon( \overleftarrow{X_t} ) </math> − [[计算力学]]认为，包括人类在内的智能体，每时每刻都在对周围环境观察，得到大量的观测数据，并在自己的内部（大脑中）构建简洁的机制来预测观测数据的变化（一种隐马尔科夫模型），而因果态和ϵ-机器因其简洁性和有效性，被认为是一种最理想的预测机制模型。+ − 我们可以从最小解释模型的角度出发来理解因果态。最小解释模型是指，我们要如何去用最简洁的宏观状态来解释和描述系统发生的现象，而且这种解释模型要在微观层面扰动时保持‘稳定’。所以它追求的是两方面：首先需要稳定，其次尺度越高越好。而这个宏观状态就是因果态。 − [[文件:因果态示例.png|无|缩略图|500x500像素|因果态示例，出自Rosas于因果涌现读书会第五季第一期的分享]] + − ====跨尺度因果态====+ − 设我们对微观动力学 <math>X_t</math> 粗粒化成宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math>，<math>f</math> 为粗粒化函数。上述的ϵ-机器只能处理在 <math>X</math> 空间上单一尺度的因果态，而作者们提出了另一种机器，υ-machine（υ-机器）来尝试定义跨尺度的计算机器和因果态。他们把因果态定义中的未来状态从微观的 <math>X</math> 改为宏观的 <math>Z</math>，并定义微观状态 <math>X</math> 中的等价关系为+ 第371行：
第366行： − + − + − [[文件:三种因果态.png|无|缩略图|400x400像素|三种因果态的示意图，摘录自文章原文]] − − 这三种机器的因果态有什么区别呢？首先，<math>U_t</math> 要比 <math>E'_t</math> 更强（powerful），因为后者只包括了宏观的信息，而前者同时包括了宏观和微观的信息。其次，<math>E_t</math> 要比 <math>U_t</math> 更强，因为 <math>U_t</math> 只保留了宏观的最大预测性，而 <math>E_t</math> 能保留微观的最大预测性（同时因为我们知道 <math>f</math> ，所以 <math>E_t</math> 也能保留宏观的最大预测性）。 − 我们能够了解一些关于它们的推断。 − '''推断1'''：微观 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 对宏观 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的信息量 等于 υ-机器的因果态 <math>U_t</math> 提供的信息量，因为 − + − = \sum_{\overleftarrow{x_t}} p(\overleftarrow{x_t}) D_{KL} \left ( p(\overrightarrow{z_t}|\overleftarrow{x_t}) || p(\overrightarrow{z_t}) \right ) − = \sum_{u_t} p(u_t) D_{KL} \left ( p(\overrightarrow{z_t}|u_t) || p(\overrightarrow{z_t}) \right ) − = I(U_t; \overrightarrow{Z_t}) − − '''推断2'''：υ-机器的因果态 <math>U_t</math> 对宏观 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的信息量 大于等于 宏观 ϵ-机器的因果态 <math>E'_t</math>。证明如下：+ − 首先，<math>I(E'_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{Z_t} ; \overrightarrow{Z_t})</math>；其次，<math>I(U_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{X_t} ; \overrightarrow{Z_t})</math>；+ − 因为 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 是 <math>\overrightarrow{X_t}</math> 的粗粒化，所以 <math>I( \overleftarrow{X_t} ; \overrightarrow{Z_t})</math> 肯定比 <math>I( \overleftarrow{Z_t} ; \overrightarrow{Z_t})</math> 大。因此，<math>I(U_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{X_t}; \overrightarrow{Z_t}) \geq I( \overleftarrow{Z_t} ; \overrightarrow{Z_t}) = I(E'_t ; \overrightarrow{Z_t})</math>。证毕。+ 第481行：
第467行： − + − − <math> − \begin{aligned} − I(\overrightarrow{Z_t}; \overleftarrow{X_t} | \overleftarrow{Z_t}) & = H(\overrightarrow{Z_t} | \overleftarrow{Z_t}) - H(\overrightarrow{Z_t} | \overleftarrow{X_t} , \overleftarrow{Z_t}) \\ − & = H(\overrightarrow{Z_t} | \overleftarrow{Z_t}) - H(\overrightarrow{Z_t} | \overleftarrow{X_t}) \\ − & = \sum_{l = t+1}^{t+L} \left ( H(Z_l | Z_{l-1}) - H(Z_l | \overrightarrow{Z_{t+1}}, X_t) \right ) \\ − &\leq = \sum_{l = t+1}^{t+L} \left ( H(Z_l | Z_{l-1}) - H(Z_l | \overrightarrow{Z_{t+1}}, X_t) \right ) \\ − &= 0 − \end{aligned} − </math> − − − − '''推断2'''：假设存在 <math>Z=f(E)=f(\epsilon(X))</math>，<math>E</math> 为 <math>X_t</math> 的ϵ-机器的因果态，那么 <math>E</math> 是弱成块的条件 等价于 <math>Z_t</math> 计算闭合的条件。证明如下： − 首先，计算闭合的条件说明，<math>Z</math> 的ϵ-机器的因果态 <math>E'</math>与 <math>E</math>之间存在粗粒化函数 <math>f'</math>，所以 <math>E</math> 可以被粗粒化成具有马尔科夫性的 <math>E'</math>，满足了弱成块的定义。+ − 而且， <math>E</math> 对 <math>f</math> 弱成块时，我们就能推断 <math>X</math> 也具有马尔科夫性，而 <math>Z</math> 的ϵ-机器的因果态 <math>E'</math>就是一个对 <math>Z</math> 马尔科夫链的粗粒化划分，写作 <math>E'_t = \epsilon' (Z_t) = \epsilon' ( f (E_t))</math>，所以因果态 <math>E'</math>与 <math>E</math>之间存在粗粒化函数，满足了计算闭合的条件。
→尺度闭合性
==尺度闭合性==
==尺度闭合性==
当研究跨尺度的粗粒化时，判断粗粒化方案的一个指标是，得出的宏观动力学是否能够独立反映微观动力学的演化行为，而不需要使用微观动力学的状态信息对其进行修正。也就是说，判断微观和宏观动力学之间是不是独立计算和演化的。
这种层次间独立计算和演化的现象在哲学中称为因果闭合或因果闭包。Anil Seth在他的动力学解耦<ref name=":23"> Barnett, L., & Seth, A. K. (2023). Dynamical independence: discovering emergent macroscopic processes in complex dynamical systems. Physical Review E, 108(1), 014304</ref>文章中认为，在一个复杂系统中，比如一个动物的身体，当宏观动力学（肢体的活动）能够自主演化，不需要回到微观动力学（细胞的活动）去提供预测信息的时候，我们就认为存在涌现。
而Fernando E. Rosas等人的工作中<ref name="closure">Rosas, F. E., Geiger, B. C., Luppi, A. I., Seth, A. K., Polani, D., Gastpar, M., & Mediano, P. A. (2024). Software in the natural world: A computational approach to hierarchical emergence. arXiv preprint arXiv:2402.09090.</ref>研究了三种[[不同尺度之间的闭合性]]：因果闭合、信息闭合和计算闭合，作为尺度间是否独立演化的指标。这里的闭合是指宏观尺度对微观尺度的闭合。当达到闭合时，即代表宏观尺度达到了某种程度上的‘独立演化’。
===单尺度因果态和ϵ-机器===
[[文件:因果态示例.png|缩略图|500x500像素|因果态示例，出自Rosas于因果涌现读书会第五季第一期的分享]]
====单尺度因果态====
词条的上一部分已经介绍过了[[计算力学]]中因果态的概念，为了与原文符号对应，我们重新提供因果态的定义。[[计算力学]]认为，包括人类在内的智能体，每时每刻都在对周围环境观察，得到大量的观测数据，并在自己的内部（大脑中）构建简洁的机制来预测观测数据的变化（一种隐马尔科夫模型），而因果态和ϵ-机器因其简洁性和有效性，被认为是一种最理想的预测机制模型。在时序系统中，ϵ-machine（ϵ-机器）根据当前时间步 <math>t</math> 的状态和历史记忆 <math>\overleftarrow{X_t}=\{... , X_{t-2}, X_{t-1}, X_t\}</math> 预测未来状态的轨迹 <math>p(\overrightarrow{X}^L_t| \overleftarrow{X_t})</math>，其中<math>\overrightarrow{X}^L_t=\{X_{t+1}, X_{t+2}, ... , X_{t+L}\}</math>，简写成<math>\overrightarrow{X_t}</math>。
因果态定义为具有相同未来预测分布的历史状态的等价类：<math>E = \{E_t\}_{t \in \mathbb{N} }, E_t = \epsilon( \overleftarrow{X_t} )</math>，<math>\overleftarrow{x_t} \equiv \overleftarrow{x_{t'}}\ \ \text{iff}\ \ p(\overrightarrow{x_t}| \overleftarrow{x_t} ) = p(\overrightarrow{x_{t'}}|\overleftarrow{x_{t'}})</math>
所以，ϵ-机器的工作是根据 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 而判断 <math>t</math> 时刻系统处于哪个因果态 <math>E_t</math> ，并根据该因果态预测未来轨迹 <math>\overrightarrow{X_t}</math> 。
所以，ϵ-机器的工作是根据 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 而判断 <math>t</math> 时刻系统处于哪个因果态 <math>E_t</math> ，并根据该因果态预测未来轨迹 <math>\overrightarrow{X_t}</math> 。
我们可以把ϵ-机器理解为最小解释模型。最小解释模型是指，我们要如何去用最简洁的宏观状态来解释和描述系统发生的现象，而且这种解释模型要在微观层面扰动时保持‘稳定’。所以它追求的是两方面：首先需要稳定，其次尺度越高越好。而这个宏观状态就是因果态。
===跨尺度因果态和υ-机器===
[[文件:三种因果态.png|缩略图|400x400像素|三种因果态的示意图，摘录自文章原文]]
设我们有粗粒化函数 <math>f</math>，将微观动力学 <math>X_t</math> 粗粒化成宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math>。ϵ-机器只能处理在 <math>X</math> 空间上单一尺度的因果态，而作者们提出了另一种机器，υ-machine（υ-机器）来尝试定义跨尺度的计算机器和因果态。他们把因果态定义中的未来状态从微观的 <math>X</math> 改为宏观的 <math>Z</math>，并定义微观状态 <math>X</math> 中的等价关系为
<math>\overleftarrow{x_t} \equiv \overleftarrow{x_{t'}} \ \ \text{iff}\ \ p( \overrightarrow{z_t} | \overleftarrow{x_t}) = p(\overrightarrow{z_{t'}}| \overleftarrow{x_{t'}}) </math>
<math>\overleftarrow{x_t} \equiv \overleftarrow{x_{t'}} \ \ \text{iff}\ \ p( \overrightarrow{z_t} | \overleftarrow{x_t}) = p(\overrightarrow{z_{t'}}| \overleftarrow{x_{t'}}) </math>
所以，我们现在有三种机器：
所以，我们现在有三种机器：
# 微观动力学 <math>X_t</math> 本身的ϵ-机器，因果态为 <math>E</math>；
# 微观动力学 <math>X_t</math> 本身的 ϵ-机器，因果态为 <math>E</math>；
# 宏观动力学 <math>Z_t</math> 本身的ϵ-机器，因果态为 <math>E'</math>；
# 宏观动力学 <math>Z_t</math> 本身的 ϵ-机器，因果态为 <math>E'</math>；
# 微观与宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器，因果态为 <math>U</math>；
# 微观与宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器，因果态为 <math>U</math>；
<math>I(\overleftarrow{X_t}; \overrightarrow{Z_t})
这三种机器的因果态有什么区别呢？首先，<math>U_t</math> 要比 <math>E'_t</math> 更强（powerful），因为后者只包括了宏观的信息，而前者同时包括了宏观和微观的信息。其次，<math>E_t</math> 要比 <math>U_t</math> 更强，因为 <math>U_t</math> 只保留了宏观的最大预测性，而 <math>E_t</math> 能保留微观的最大预测性（同时因为我们知道 <math>f</math> ，所以 <math>E_t</math> 也能保留宏观的最大预测性）。
</math>
我们能够了解一些关于它们的推断：
'''推断1'''：微观 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 对宏观 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的信息量 等于 υ-机器的因果态 <math>U_t</math> 提供的信息量，<math>I(\overleftarrow{X_t}; \overrightarrow{Z_t}) = I(U_t; \overrightarrow{Z_t})</math>。证明请参考[[不同尺度之间的闭合性]]。
'''推断2'''：υ-机器的因果态 <math>U_t</math> 对宏观 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的信息量 大于等于 宏观 ϵ-机器的因果态 <math>E'_t</math>。证明请参考[[不同尺度之间的闭合性]]。
作者们<ref name="closure" />认为，当使用 <math>Z_t</math> 来预测 <math>Z_{t+1}</math> 时，可以拆分为两步：先利用宏观 <math>Z_t</math> 推断微观 <math>X_t</math>，再利用微观 <math>X_t</math> 估算宏观 <math>Z_{t+1}</math>。所以，
作者们<ref name="closure" />认为，当使用 <math>Z_t</math> 来预测 <math>Z_{t+1}</math> 时，可以拆分为两步：先利用宏观 <math>Z_t</math> 推断微观 <math>X_t</math>，再利用微观 <math>X_t</math> 估算宏观 <math>Z_{t+1}</math>。所以，
'''推断1'''：当一个马尔科夫链 <math>X_t</math> 存在粗粒化函数 <math>Z_t=f(X_t)</math>，而 <math>X_t</math> 对 <math>f</math> 强成块时，<math>Z_t</math> 满足因果闭合/计算闭合。（但是满足因果闭合/计算闭合的 <math>Z_t=f(X_t)</math> 不一定都是强成块的，详情请参考论文<ref name="closure" />反例6）。证明如下：
'''推断1'''：当一个马尔科夫链 <math>X_t</math> 存在粗粒化函数 <math>Z_t=f(X_t)</math>，而 <math>X_t</math> 对 <math>f</math> 强成块时，<math>Z_t</math> 满足因果闭合/计算闭合。（但是满足因果闭合/计算闭合的 <math>Z_t=f(X_t)</math> 不一定都是强成块的，详情请参考论文<ref name="closure" />反例6）。证明请参考词条[[不同尺度之间的闭合性]]。
'''推断2'''：假设存在 <math>Z=f(E)=f(\epsilon(X))</math>，<math>E</math> 为 <math>X_t</math> 的ϵ-机器的因果态，那么 <math>E</math> 是弱成块的条件 等价于 <math>Z_t</math> 计算闭合的条件。证明请参考词条[[不同尺度之间的闭合性]]。