812
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第609行：
第609行： + − 关于动力学可逆性，我们有如下定理：对于一个给定的马尔科夫链<math>\chi</math>和对应的TPM <math>P</math>，'''当且仅当 <math>P</math> 是[[置换矩阵]](Permutation Matrix)的时候，<math>P</math> 是严格动力学可逆的。'''所谓的[[置换矩阵]]是指每一个行向量都是独热向量（one-hot vector，即只有一个元素是1，其余元素均为零的向量），每两个行向量都不相同。 − 纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。+ − 考虑 <math>P</math> 的秩为 <math>r</math> ，当且仅当 <math>r<N</math> （ <math>N</math> 为矩阵的维数）的时候，<math>P</math> 是不可逆的；且 <math>P</math> 越退化对应着越小的 <math>r</math>。然而，'''非退化（满秩）的矩阵 <math>P</math> 并不总是动力学可逆的'''，因为：+ − + + + − 所有置换矩阵的行向量都是独热向量。这一特性可以被矩阵 <math>P</math> 的[[弗罗贝尼乌斯范数]]（Frobenius norm，F-norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数找到P的近似动力学可逆性与矩阵奇异值之间的联系。 + − 首先，矩阵的秩可以被写作：<math>r=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{0}</math>，其中<math>\sigma_{i}</math>是矩阵 <math>P</math> 的第 <math>i</math> 个奇异值，<math>N</math> 是马尔科夫链的状态数。+ − 紧接着，矩阵的F-norm可以被写作：<math>{||P||}_{F}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{2}</math>。这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和F-norm都与奇异值相联系。+ − 由于绝大部分马尔科夫链的状态转移矩阵都不是置换矩阵，所以我们需要一个指标来刻画其靠近（可逆的）置换矩阵的程度。这就是矩阵 <math>P</math> 的 <math>\alpha</math> 阶近似动力学可逆性。定义为：+ 第634行：
第636行： − + 第646行：
第648行： − − −
→因果涌现：动力学可逆性 Dynamical Reversibility
则 <math>\chi</math> 和 <math>P</math> 可以称为'''严格动力学可逆的'''。
则 <math>\chi</math> 和 <math>P</math> 可以称为'''严格动力学可逆的'''。
对于一个给定的马尔科夫链 <math>\chi</math> 和对应的TPM <math>P</math>，'''当且仅当 <math>P</math> 是[[置换矩阵]](Permutation Matrix)的时候，<math>P</math> 是严格动力学可逆的。'''所谓的[[置换矩阵]]是指每一个行向量都是独热（one-hot）向量，每两个行向量都不相同。
纯粹的置换矩阵在所有可能的 TPM 中非常稀少，所以大多数的 TPM 并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个 TPM 接近动力学可逆的程度。
首先考虑不满秩的 <math>P</math> 的秩为 <math>r</math> ，当 <math>r<N</math> （ <math>N</math> 为矩阵的维数）时，<math>P</math> 是不可逆的；且 <math>P</math> 越退化对应着越小的 <math>r</math>。
# 尽管<math>P^{-1}</math>存在，<math>P^{-1}</math>并不一定是满足归一化条件的合法TPM（即矩阵中每个元素都大于等于0，小于等于1，且每一行满足加和为1的条件）；
然而，'''非退化（即满秩）的矩阵 <math>P</math> 并不总是动力学可逆的'''，因为：
# 尽管 <math>P^{-1}</math> 存在，<math>P^{-1}</math>并不一定是满足归一化条件的合法 TPM（即矩阵中每个元素都大于等于0，小于等于1，且每一行满足加和为1的条件）；
# 如前所述，若 <math>P</math> 满足动力学可逆性，则 <math>P</math> 必为置换矩阵。
# 如前所述，若 <math>P</math> 满足动力学可逆性，则 <math>P</math> 必为置换矩阵。
我们可以由矩阵 P 的秩 r 和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm，F-norm）找到 P 的近似动力学可逆性与矩阵奇异值之间的联系。
首先，'''矩阵的秩'''可以被写作：<math>r=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{0}</math>，其中 <math>\sigma_{i}</math> 是矩阵 <math>P</math> 的第 <math>i</math> 个奇异值，<math>N</math> 是马尔科夫链的状态数。
紧接着，'''矩阵的F-norm'''可以被写作：<math>{||P||}_{F}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{2}</math>。这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和F-norm都与奇异值相联系。
事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。由于绝大部分马尔科夫链的状态转移矩阵都不是置换矩阵，所以我们需要一个指标来刻画其靠近（可逆的）置换矩阵的程度。这就是矩阵 <math>P</math> 的 <math>\alpha</math> 阶近似动力学可逆性。定义为：
<blockquote>
<blockquote>
<math>\begin{aligned}
<math>\begin{aligned}
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
其中<math>\alpha\in(0,2)</math>是参数。实际上，当<math>\alpha\ge1</math>时，<math>\Gamma_{\alpha}</math>是 <math>P</math> 的[[沙滕范数]]（Schatten norm）；当<math>0<\alpha<1</math>时，<math>\Gamma_{\alpha}</math>是P的准范数（quasinorm）<ref>Schatten norm from Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Schatten norm</ref><ref>Recht, B., Fazel, M., Parrilo, P.A.: Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm minimization. SIAM review 52(3), 471–501 (2010)</ref><ref>Chi, Y., Lu, Y.M., Chen, Y.: Nonconvex optimization meets low-rank matrix factorization: An overview. IEEE Transactions on Signal Processing 67(20), 52395269 (2019)</ref><ref name="Cui">Cui, S., Wang, S., Zhuo, J., Li, L., Huang, Q., Tian, Q.: Towards discriminability and diversity: Batch nuclear-norm maximization under label insufficient situations. In: Proceedings of the IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 3941–3950 (2020)</ref>。使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的，因为完全动力学可逆性可以通过最大化<math>\Gamma_{\alpha}</math>来得到。我们可以证明如下结论：对于任意<math>\alpha\in(0,2)</math>，<math>\Gamma_{\alpha}</math>的最大值是N，当且仅当P是置换矩阵的时候能取到该最大值。
其中<math>\alpha\in(0,2)</math>是参数。当<math>\alpha\ge1</math>时，<math>\Gamma_{\alpha}</math>是 <math>P</math> 的[[沙滕范数]]（Schatten norm）；当<math>0<\alpha<1</math>时，<math>\Gamma_{\alpha}</math>是P的准范数（quasinorm）<ref>Schatten norm from Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Schatten norm</ref><ref>Recht, B., Fazel, M., Parrilo, P.A.: Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm minimization. SIAM review 52(3), 471–501 (2010)</ref><ref>Chi, Y., Lu, Y.M., Chen, Y.: Nonconvex optimization meets low-rank matrix factorization: An overview. IEEE Transactions on Signal Processing 67(20), 52395269 (2019)</ref><ref name="Cui">Cui, S., Wang, S., Zhuo, J., Li, L., Huang, Q., Tian, Q.: Towards discriminability and diversity: Batch nuclear-norm maximization under label insufficient situations. In: Proceedings of the IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 3941–3950 (2020)</ref>。使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的，因为完全动力学可逆性可以通过最大化<math>\Gamma_{\alpha}</math>来得到。我们可以证明如下结论：对于任意<math>\alpha\in(0,2)</math>，<math>\Gamma_{\alpha}</math>的最大值是N，当且仅当P是置换矩阵的时候能取到该最大值。
<br/>
<br/>
==稳态分布下的随机动力学划分==
==稳态分布下的随机动力学划分==