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第613行： − 贝当古（Bettencourt）等人在2007年的研究得出了城市的生长方程，表明规模法则在城市中同样适用，只是生物体随着体重增大会导致新陈代谢以较慢的速度生长，而城市的超线性规模法则会使城市的新陈代谢率随其规模增大而以更快的速度生长。+ 第624行：
第624行： − + − + − + − + − + − + + 第638行：
第639行： − + − + − 当资源稀缺时，超线性动态的特点是崩溃（collapse）。尽管城市最初可能呈现超线性增长，但由于资源的限制，这种快速增长最终会达到一个临界点，并迅速崩溃。这反映了过度依赖有限资源而导致的不稳定性和脆弱性。+
→城市生长方程
== 城市生长方程 ==
== 城市生长方程 ==
Bettencourt等人在2007年的研究得出了城市的生长方程，表明规模法则在城市中同样适用，只是生物体随着体重增大会导致新陈代谢以较慢的速度生长，而城市的超线性规模法则会使城市的新陈代谢率随其规模增大而以更快的速度生长。
=== 核心方程 ===
=== 核心方程 ===
|{{EquationRef|12}}}}
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* [math]N(t)[/math]：城市在时间[math]t[/math]的人口规模
* [math]N(t)[/math]：城市在时间[math]t[/math]的人口规模；
* [math]\frac{dN(t)}{dt}[/math]：人口随时间的变化率，即城市增长率
* [math]Y(t)[/math]：城市在时间[math]t[/math]的资源产出（GDP）；
* [math]Y_{0}[/math]：一个归一化常数
* [math]\frac{dN(t)}{dt}[/math]：人口随时间的变化率，即城市增长率；
* [math]\beta[/math]：缩放指数（scaling exponent），反映了系统的一般动态规则
* [math]Y_{0}[/math]：一个归一化常数，规模法则的系数，代表城市的单人产出，即城市只有一个人的时候，资源产出是多少；
* [math]R[/math]：维持每个个体平均所需的资源量
* [math]\beta[/math]：规模法则幂律指数（scaling exponent），反映了系统在规模（[math]N[/math]）缩放的时候，资源产出[math]Y[/math]的相对缩放速度；
* [math]E[/math]：增加一个新个体所需的平均资源量
* [math]R[/math]：维持每个个体平均所需的资源量；
* [math]E[/math]：增加一个新个体所需的平均资源量。
文章首先从一个基本的假设开始：城市的增长受到可用资源及其消耗速度的制约。作者提出，资源 [math]Y[/math] 被用于两个主要方面：维持现有的人口和促使新的人口增长。
文章首先从一个基本的假设开始：城市的增长受到可用资源及其消耗速度的制约。作者提出，资源 [math]Y[/math] 被用于两个主要方面：维持现有的人口和促使新的人口增长。
* [math]E(\frac{dN}{dt})[/math] 代表增加新人口所需的资源总量，其中 [math]E[/math] 是增加一个新个体所需的资源量，[math]\frac{dN}{dt}[/math] 是人口增长率。
* [math]E(\frac{dN}{dt})[/math] 代表增加新人口所需的资源总量，其中 [math]E[/math] 是增加一个新个体所需的资源量，[math]\frac{dN}{dt}[/math] 是人口增长率。
2. 接下来，作者将规模法则（Scaling Law）引入这个方程。规模法则描述了城市的某个属性 [math]Y[/math] 与其人口规模 [math]N(t)[/math] 之间的幂律关系：[math]Y(t) = Y_{0}N(t)^{\beta}[/math]
2. 接下来，作者将规模法则（Scaling Law）引入这个方程。规模法则描述了城市的资源产出 [math]Y[/math] 与其人口规模 [math]N(t)[/math] 之间的幂律关系：[math]Y(t) = Y_{0}N(t)^{\beta}[/math]
3. 将规模法则的表达式代入资源分配方程中，得到：[math]Y_{0}N(t)^{\beta} = RN(t) + E(\frac{dN}{dt})[/math]
3. 将规模法则的表达式代入资源分配方程中，得到：[math]Y_{0}N(t)^{\beta} = RN(t) + E(\frac{dN}{dt})[/math]
4. 最后，对这个方程进行重新整理，解出人口增长率 [math]\frac{dN}{dt}[/math]，从而得到最终的城市生长方程：[math]\frac{dN(t)}{dt} = \frac{Y_{0}N(t)^{\beta} - RN(t)}{E} = (\frac{Y_{0}}{E})N(t)^{\beta} - (\frac{R}{E})N(t)[/math]
4. 最后，对这个方程进行重新整理，解出人口增长率 [math]\frac{dN}{dt}[/math]，从而得到最终的城市生长方程：[math]\frac{dN(t)}{dt} = \frac{Y_{0}N(t)^{\beta} - RN(t)}{E} = (\frac{Y_{0}}{E})N(t)^{\beta} - (\frac{R}{E})N(t)[/math]，即({{EquationNote|12}})式
这个生长方程的解会根据缩放指数 [math]\beta[/math] 的值呈现出亚线性、线性、超线性三种截然不同的增长模式，其中城市属于超线性增长， [math]\beta > 1[/math]。城市人口的增长是无限制的，并将在一个有限的时间内达到“奇点”（Singularity），即城市规模的增长速度比指数增长还要快。这反映了城市独特的自催化（autocatalytic）性质，即城市规模的扩大能通过创新和社交互动等过程进一步加速自身的增长。
这个生长方程的解会根据缩放指数 [math]\beta[/math] 的值呈现出亚线性、线性、超线性三种截然不同的增长模式，其中城市属于超线性增长， [math]\beta > 1[/math]。城市人口的增长是无限制的，并将在一个有限的时间内达到“奇点”（Singularity），即城市规模的增长速度比指数增长还要快。这反映了城市独特的自催化（autocatalytic）性质，即城市规模的扩大能通过创新和社交互动等过程进一步加速自身的增长。
当资源稀缺时，超线性动态的特点是崩溃（collapse）。尽管城市最初可能呈现超线性增长，但由于资源的限制，这种快速增长最终会达到一个临界点，并迅速崩溃，这一点即为[[奇点]]。这反映了过度依赖有限资源而导致的不稳定性和脆弱性。
=== 城市与生物、公司的区别 ===
=== 城市与生物、公司的区别 ===